Calcule o trabalho realizado pela força \vec{F}(x, y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}} \vec{i}+\frac{4}{x^{2}+y^{2}} \vec{j} ao longo da trajetória plana dada pela vetor posição \vec{r}(t)=(4 \cos t) \vec{i}+(4 \sin t) \vec{j} \operatorname{com} t \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right].
Resp. : \frac{3}{4}.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado pela força \vec{F}(x,y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\vec{i}+\frac{4}{x^{2}+y^{2}}\vec{j} ao longo da curva \vec{r}(t)=4\cos t\,\vec{i}+4\sin t\,\vec{j}, t\in[0,\tfrac\pi2].
Conteúdo: integral de linha de um campo vetorial (trabalho).
O que precisamos: usar a parametrização, calcular \vec r\,'(t), obter \vec F(\vec r(t)), formar o produto escalar \vec F\cdot\vec r\,' e integrar de 0 a \tfrac\pi2.

Passo 2

Parametrizamos a curva e calculamos a derivada: \displaystyle \vec r(t) = (4\cos t)\,\vec i + (4\sin t)\,\vec j \displaystyle \vec r\,'(t) = \frac{d}{dt}(4\cos t)\,\vec i + \frac{d}{dt}(4\sin t)\,\vec j = (-4\sin t)\,\vec i + (4\cos t)\,\vec j.

Passo 3

No campo, x^{2}+y^{2} ao longo da curva vale \displaystyle x^{2}+y^{2}=(4\cos t)^{2}+(4\sin t)^{2}=16.
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\vec F(\vec r(t)) =\frac{1}{16}\,\vec i+\frac{4}{16}\,\vec j =\frac{1}{16}\,\vec i+\frac{1}{4}\,\vec j.

Passo 4

Formamos o produto escalar e simplificamos:
\vec F(\vec r(t))\cdot\vec r\,'(t) =\Bigl(\frac{1}{16},\frac{1}{4}\Bigr)\!\cdot\!(-4\sin t,\,4\cos t) =\frac{1}{16}(-4\sin t)+\frac{1}{4}(4\cos t) =-\frac{\sin t}{4}+\cos t.

Passo 5

O trabalho é
W=\int_{0}^{\frac\pi2}\Bigl(\cos t-\frac{\sin t}{4}\Bigr)\,dt =\int_{0}^{\frac\pi2}\cos t\,dt -\frac{1}{4}\int_{0}^{\frac\pi2}\sin t\,dt.

Passo 6

Calculando as integrais: \displaystyle \int_{0}^{\frac\pi2}\cos t\,dt=[\sin t]_{0}^{\frac\pi2}=1, \displaystyle \int_{0}^{\frac\pi2}\sin t\,dt=[-\cos t]_{0}^{\frac\pi2}=1.
Então
W=1-\frac{1}{4}\cdot1=\frac{3}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{4}

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