Seja \gamma uma curva regular plana com origem no ponto de coordenadas (-1,2) e extremidade no ponto de coordenadas (0,1). Mostre que a integral de linha
\int_{\gamma}(3 x-y+1) d x-(x+4 y+2) d y
independe da trajetória e calcule o seu valor.
Resp.: \frac{11}{2}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a integral de linha
\int_{\gamma}(3x - y + 1)\,dx \;-\;(x + 4y + 2)\,dy
é independente da trajetória entre os pontos (-1,2) e (0,1) e, em seguida, calcular o valor dessa integral.
Conteúdo: formas diferenciais exatas e campos conservativos em \mathbb{R}^2.

Passo 2

Denotemos
P(x,y)=3x - y + 1, \qquad Q(x,y)=-(x + 4y + 2).
Para verificar se a forma P\,dx + Q\,dy é exata basta checar
\frac{\partial P}{\partial y} \overset{?}{=} \frac{\partial Q}{\partial x}.
Calculamos
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(3x - y +1) =-1,
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-x -4y -2\bigr) =-1.
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x em todo \mathbb{R}^2, a forma é exata e a integral independe do caminho.

Passo 3

Como é exata, existe potencial f(x,y) tal que
\frac{\partial f}{\partial x}=P=3x - y +1, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=Q=-(x +4y +2).
Integramos \partial f/\partial x em relação a x:
f(x,y) =\int(3x - y +1)\,dx =\frac{3}{2}x^2 -xy + x + h(y),
onde h(y) é função a determinar.
Agora usamos \partial f/\partial y:
\frac{\partial f}{\partial y} =-x + h'(y) \overset{!}{=} -(x +4y +2).
Logo
h'(y)=-4y -2 \quad\Longrightarrow\quad h(y)=-2y^2 -2y + C.
Portanto
f(x,y) =\frac{3}{2}x^2 -xy + x -2y^2 -2y + C.

Passo 4

Como a integral independe do caminho, vale
\int_{\gamma}P\,dx+Q\,dy =f\bigl(0,1\bigr)-f\bigl(-1,2\bigr).
Calculando:
f(0,1) =\frac{3}{2}\cdot0^2 -0\cdot1 +0 -2\cdot1^2 -2\cdot1 +C =-2 -2 +C =-4 +C,
f(-1,2) =\frac{3}{2}\cdot(-1)^2 -(-1)\cdot2 +(-1) -2\cdot2^2 -2\cdot2 +C =\frac{3}{2}+2 -1 -8 -4 +C =-\frac{19}{2}+C.
Assim
\int_{\gamma}(3x - y +1)\,dx -(x +4y +2)\,dy =\bigl(-4 +C\bigr)-\Bigl(-\tfrac{19}{2}+C\Bigr) =-4+\tfrac{19}{2} =\frac{11}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{11}{2}

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