Seja
uma curva regular plana com origem no ponto de coordenadas
e extremidade no ponto de coordenadas
. Mostre que a integral de linha
independe da trajetória e calcule o seu valor.
Resp.:
.
Resp.:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a integral de linha
é independente da trajetória entre os pontos
e
e, em seguida, calcular o valor dessa integral.
Conteúdo: formas diferenciais exatas e campos conservativos em .
Conteúdo: formas diferenciais exatas e campos conservativos em
Passo 2
Denotemos
Para verificar se a forma
é exata basta checar
Calculamos
Como
em todo
, a forma é exata e a integral independe do caminho.
Passo 3
Como é exata, existe potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
onde
é função a determinar.
Agora usamos :
Agora usamos
Logo
Portanto
Passo 4
Como a integral independe do caminho, vale
Calculando:
Assim