Sejam f: \mathbb{R}_{+} \rightarrow \mathbb{R} uma função diferenciável. Mostre que se \vec{F} é um campo vetorial da forma \vec{F}=f(\|\vec{r}\|) \vec{r} e \vec{\nabla} \cdot \vec{F}=0 então necessariamente \vec{F} é da forma
\vec{F}=\alpha \frac{\vec{r}}{\|\vec{r}\|^{3}}, \quad \text { onde } \alpha \text { é uma constante real. }
Passo 1
O enunciado dá um campo vetorial \vec{F}:\mathbb{R}^3\setminus\{0\}\to\mathbb{R}^3 da forma