Sejam f: \mathbb{R}_{+} \rightarrow \mathbb{R} uma função diferenciável. Mostre que se \vec{F} é um campo vetorial da forma \vec{F}=f(\|\vec{r}\|) \vec{r} e \vec{\nabla} \cdot \vec{F}=0 então necessariamente \vec{F} é da forma
\vec{F}=\alpha \frac{\vec{r}}{\|\vec{r}\|^{3}}, \quad \text { onde } \alpha \text { é uma constante real. }é

Passo 1

O enunciado dá um campo vetorial \vec{F}:\mathbb{R}^3\setminus\{0\}\to\mathbb{R}^3 da forma
\vec{F}(\vec{r}) = f\bigl(\|\vec{r}\|\bigr)\,\vec{r},
onde \vec{r}=(x,y,z) e \|\vec{r}\|=r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}. Pede-se mostrar que, se \nabla\cdot\vec{F}=0, então
\vec{F}(\vec{r}) = \alpha\,\frac{\vec{r}}{\|\vec{r}\|^3},
com \alpha\in\mathbb{R}. Vamos usar a definição de divergência e resolver a equação diferencial para f(r).

Passo 2

Para calcular \nabla\cdot\vec{F}, lembramos que \vec{F}=f(r)\,(x,y,z). Usamos a regra do produto:
\nabla\cdot\bigl(f(r)\,\vec{r}\bigr) = f(r)\,\underbrace{\nabla\cdot\vec{r}}_{=3} + \nabla\bigl(f(r)\bigr)\,\cdot\vec{r}.

Passo 3

Computamos \nabla\bigl(f(r)\bigr). Como f depende só de r,
\nabla\bigl(f(r)\bigr) = f'(r)\,\nabla r = f'(r)\,\frac{\vec{r}}{r}.
Portanto
\nabla\bigl(f(r)\bigr)\cdot\vec{r} = f'(r)\,\frac{\vec{r}}{r}\cdot\vec{r} = f'(r)\,\frac{r^2}{r} = r\,f'(r).

Passo 4

Substituindo em \nabla\cdot\vec{F}:
\nabla\cdot\vec{F} = 3\,f(r) + r\,f'(r).
A condição \nabla\cdot\vec{F}=0 dá a equação diferencial
r\,f'(r) + 3\,f(r) = 0.

Passo 5

Essa é uma equação de variáveis separáveis. Reescrevendo,
\frac{f'(r)}{f(r)} = -\frac{3}{r},
integramos ambos os lados:
\ln|f(r)| = -3\ln r + C \quad\Longrightarrow\quad f(r) = C_1\,r^{-3},
onde C_1=e^C é constante real.

Passo 6

Logo
\vec{F}(\vec{r}) = f(r)\,\vec{r} = C_1\,r^{-3}\,\vec{r} = \alpha\,\frac{\vec{r}}{\|\vec{r}\|^3},
com \alpha=C_1.

Resposta

\displaystyle \vec{F}(\vec{r}) = \alpha\,\frac{\vec{r}}{\|\vec{r}\|^3}, onde \alpha é constante real.

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