A partir do teorema de Green, a área de uma superfície plana delimitada por uma curva simples fechada \gamma é dada por
\frac{1}{2} \oint_{\gamma}-y d x+x d y .
Verifique esse fato e calcule a área da superfície envolvida pelo astroide \gamma=\left\{\left(a \cos ^{3} \theta, a \sin ^{3} \theta\right) \in \mathbb{R}^{2}: \theta \in[0,2 \pi)\right\}.
Resp.: \frac{3 a^{2} \pi}{4}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que, pelo Teorema de Green, a área de uma região D em \mathbb{R}^2 limitada por uma curva fechada simples \gamma é
\text{Área}(D) =\frac12\oint_{\gamma}\bigl(-y\,dx + x\,dy\bigr).Á
Depois, queremos aplicar essa fórmula à astroide parametrizada por
\gamma(\theta)=\bigl(x(\theta),y(\theta)\bigr) =\bigl(a\cos^3\theta,\,a\sin^3\theta\bigr), \quad \theta\in[0,2\pi).

Passo 2

Para usar a fórmula, precisamos das derivadas
x(\theta)=a\cos^3\theta \quad\Longrightarrow\quad x'(\theta)=-3a\cos^2\theta\,\sin\theta,
y(\theta)=a\sin^3\theta \quad\Longrightarrow\quad y'(\theta)=3a\sin^2\theta\,\cos\theta.
Assim o integrando fica
-y\,dx + x\,dy =-y(\theta)\,x'(\theta)\,d\theta + x(\theta)\,y'(\theta)\,d\theta.

Passo 3

Substituindo x,y,x',y' no integrando, vem
-y\,x' + x\,y' =-\bigl(a\sin^3\theta\bigr)\bigl(-3a\cos^2\theta\,\sin\theta\bigr) +\bigl(a\cos^3\theta\bigr)\bigl(3a\sin^2\theta\,\cos\theta\bigr)
=3a^2\bigl(\sin^4\theta\cos^2\theta + \cos^4\theta\sin^2\theta\bigr) =3a^2\,\sin^2\theta\cos^2\theta,
pois \sin^4\theta\cos^2\theta+\cos^4\theta\sin^2\theta =\sin^2\theta\cos^2\theta(\sin^2\theta+\cos^2\theta) =\sin^2\theta\cos^2\theta.

Passo 4

Logo a área é
\text{Área} =\frac12\int_{0}^{2\pi}3a^2\,\sin^2\theta\cos^2\theta\,d\theta =\frac{3a^2}{2}\int_{0}^{2\pi}\sin^2\theta\cos^2\theta\,d\theta.Á
Usamos a identidade \sin^2\theta\cos^2\theta=\tfrac18\bigl(1-\cos4\theta\bigr). Então
\int_{0}^{2\pi}\sin^2\theta\cos^2\theta\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\frac{1-\cos4\theta}{8}\,d\theta =\frac{1}{8}\bigl[2\pi - 0\bigr] =\frac{\pi}{4}.

Passo 5

Substituindo na expressão da área, obtemos
\text{Área} =\frac{3a^2}{2}\cdot\frac{\pi}{4} =\frac{3\pi a^2}{8}.Á

Resposta

\boxed{\text{Área} = \frac{3\pi a^2}{8}.}Á

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