A partir do teorema de Green, a área de uma superfície plana delimitada por uma curva simples fechada
é dada por
Verifique esse fato e calcule a área da superfície envolvida pelo astroide
.
Resp.:
.
Resp.:
Passo 1
O enunciado pede para verificar que, pelo Teorema de Green, a área de uma região
em
limitada por uma curva fechada simples
é
Depois, queremos aplicar essa fórmula à astroide parametrizada por
Passo 2
Para usar a fórmula, precisamos das derivadas
Assim o integrando fica
Passo 3
Substituindo
no integrando, vem
pois
.
Passo 4
Logo a área é
Usamos a identidade
. Então
Passo 5
Substituindo na expressão da área, obtemos