Determine o valor da integral de linha
\int_{\gamma} x y z^{2} d s
ao longo da curva \gamma=\left\{\left(t, 3 t^{2}, 6 t^{3}\right) \in \mathbb{R}^{3}: t \in[0,1]\right\}
Resp.: \frac{864}{5}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{\gamma} x\,y\,z^{2}\,ds
ao longo da curva \gamma definida por
\gamma(t) = \bigl(t,\;3t^{2},\;6t^{3}\bigr),\quad t\in[0,1].
O conteúdo aqui é integral de linha de uma função escalar sobre uma curva no espaço. Vamos parametrizar a curva, calcular ds e reduzir tudo a uma integral em t.

Passo 2

Primeiro achamos a derivada de \gamma:
\gamma'(t) = \bigl(1,\;6t,\;18t^{2}\bigr).
Em seguida o diferencial de arco é
ds = \bigl\lVert \gamma'(t)\bigr\rVert\,dt \quad\text{com}\quad \bigl\lVert \gamma'(t)\bigr\rVert = \sqrt{1 + (6t)^{2} + (18t^{2})^{2}} = \sqrt{1 + 36t^{2} + 324t^{4}} = 1 + 18t^{2}.

Passo 3

Agora expressamos x\,y\,z^{2} em função de t. Como \;x=t,\;y=3t^{2},\;z=6t^{3}, temos
x\,y\,z^{2} = t \cdot 3t^{2} \cdot (6t^{3})^{2} = 3t^{3} \cdot 36t^{6} = 108\,t^{9}.
Assim o integrando se torna
x\,y\,z^{2}\,ds = 108\,t^{9}\,(1 + 18t^{2})\,dt.

Passo 4

Expandindo o fator
108\,t^{9}\,(1 + 18t^{2}) = 108\,t^{9} + 1944\,t^{11},
a integral em t é
\int_{0}^{1}\bigl(108\,t^{9} + 1944\,t^{11}\bigr)\,dt.

Passo 5

Integramos termo a termo:
\int_{0}^{1}108\,t^{9}\,dt = 108\cdot\frac{1}{10} = \frac{54}{5}, \quad \int_{0}^{1}1944\,t^{11}\,dt = 1944\cdot\frac{1}{12} = 162.
Somando os dois resultados:
\frac{54}{5} + 162 = \frac{54 + 810}{5} = \frac{864}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{864}{5}

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