Considere a curva
dada por
. Calcule
, onde
.
Passo 1
O enunciado dá:
- A curva
é dada pela parametrização , com . - O campo vetorial é
.
A pergunta é: calcular.
Passo 2
O que é a integral de linha que precisamos calcular? Para uma curva parametrizada
,
, e um campo
, a integral de linha é
ou, se o campo for gradiente de uma função potencial
(isto é,
), então vale o Teorema Fundamental das Integrais de Linha:
ou seja, a integral depende só dos pontos finais. Vou tentar usar essa segunda ideia porque costuma simplificar muito o cálculo.
Passo 3
Como verificar se
é um campo conservativo (tem potencial)? Para um campo
com derivadas parciais contínuas em todo
, uma condição necessária e suficiente (em domínio simplesmente conexo) é
Aqui
e
. Calculemos as parciais:
Como
para todos
e as derivadas são contínuas, e o domínio é todo
(simplesmente conexo), concluímos que
é conservativo e existe uma potencial
tal que
.
Passo 4
Agora vamos encontrar a função potencial
. Pela definição, deve valer
Integramos essa igualdade em relação a
(tratando
como constante):
onde
é uma função que pode depender só de
(constante de integração relativa a
).
Passo 5
Para determinar
, usamos a relação com a derivada de
em relação a
: deve ser
. Calculemos
a partir de
:
Igualando a
obtemos
Logo
é constante; podemos escolher essa constante como
(não altera o gradiente). Portanto uma potencial é
Passo 6
Pelo Teorema Fundamental das Integrais de Linha, já que
,
Precisamos então calcular
e
.
Passo 7
Calculemos os pontos finais da curva usando a parametrização
.
- Para
:
Como
e
, tem-se
- Para
:
Como
e
, tem-se
Passo 8
Agora avaliamos a potencial
nos pontos finais:
Portanto