3 - Calcule o trabalho realizado pelas forças elétricas e magnéticas sobre uma partícula que se desloca em uma trajetória retilínea da origem até o ponto
e velocidade constante de
, sabendo que está sujeita a um campo elétrico uniforme
e um campo magnético uniforme
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o trabalho realizado pelas forças elétricas e magnéticas sobre uma partícula que se desloca retilineamente da origem até o ponto
com velocidade constante de
.
Informações dadas:
Informações dadas:
velocidade constante de
(direção ao longo da trajetória retilínea indicada por
).
Perguntas explícitas: (1) qual o trabalho realizado pela força elétrica? (2) qual o trabalho realizado pela força magnética?
Perguntas explícitas: (1) qual o trabalho realizado pela força elétrica? (2) qual o trabalho realizado pela força magnética?
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados devagarinho):
- Trabalho de uma força ao longo de uma trajetória é
onde
é o deslocamento infinitesimal. Se
é constante e o caminho é retilíneo, isso vira o produto escalar
.
- Força elétrica sobre uma partícula de carga
num campo elétrico uniforme :
Aqui
é a carga (em coulombs),
em
.
- Força magnética (força de Lorentz magnética) sobre a mesma partícula com velocidade instantânea
:
A força magnética tem direção perpendicular tanto a
quanto a
(propriedade do produto vetorial).
- Potência instantânea (taxa de trabalho) entregue por uma força é
. Assim o trabalho total também pode ser obtido por integrar no tempo:
Essas relações são fundamentais — vou usá‑las passo a passo.
Passo 3
Cálculo do trabalho da força elétrica. Como
é uniforme,
é constante. Para um deslocamento retilíneo de
vale:
Agora calculamos o produto escalar
. Usando os componentes dados:
O produto escalar é
Logo
Interpretação: o trabalho da força elétrica é
. Se
for positivo, o trabalho é positivo; se
for negativo, é negativo. (Aqui deixamos em função de
porque o enunciado não forneceu o valor da carga.)
Passo 4
Cálculo do trabalho da força magnética — ideia principal explicada com calma. A força magnética é
. A potência instantânea associada é
Propriedade do produto vetorial: o vetor
é perpendicular a
. Portanto o produto escalar de dois vetores perpendiculares é zero, o que nos dá
Consequentemente, para qualquer instante
Integrando no tempo (ou ao longo da trajetória) obtemos o trabalho total:
Explicação em palavras: a força magnética só muda a direção do movimento (curvando a trajetória), mas não realiza trabalho porque é sempre perpendicular à velocidade; no nosso caso, a trajetória é retilínea e a força magnética fica sempre perpendicular à velocidade instantânea, então o trabalho é zero. Isso independe da velocidade numérica (os
não alteram esse argumento), independe do valor de
e independe da magnitude de
— a propriedade geométrica garante
.
Passo 5
(se quiser ver em forma integral usando a parametrização retilínea: se
é a posição, então
e)
confirmando o resultado anterior.