3 - Calcule o trabalho realizado pelas forças elétricas e magnéticas sobre uma partícula que se desloca em uma trajetória retilínea da origem até o ponto -2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k} e velocidade constante de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, sabendo que está sujeita a um campo elétrico uniforme \vec{E}=(-\hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}) V / m e um campo magnético uniforme \vec{B}=(\hat{j}-\hat{k}) T.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o trabalho realizado pelas forças elétricas e magnéticas sobre uma partícula que se desloca retilineamente da origem até o ponto -2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k} com velocidade constante de 2\\ \mathrm{m/s}.
Informações dadas:
\Delta \vec{r} = -2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\\ \text{(metros)}
\vec{E}=(-\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k})\\ \mathrm{V/m}
\vec{B}=(\hat{j}-\hat{k})\\ \mathrm{T}
velocidade constante de 2\\ \mathrm{m/s} (direção ao longo da trajetória retilínea indicada por \Delta\vec{r}).
Perguntas explícitas: (1) qual o trabalho realizado pela força elétrica? (2) qual o trabalho realizado pela força magnética?

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados devagarinho):
  • Trabalho de uma força ao longo de uma trajetória é
W=\int_{\text{traj}} \vec{F}\cdot d\vec{r},
onde d\vec{r} é o deslocamento infinitesimal. Se \vec{F} é constante e o caminho é retilíneo, isso vira o produto escalar \vec{F}\cdot\Delta\vec{r}.
  • Força elétrica sobre uma partícula de carga q num campo elétrico uniforme \vec{E}:
\vec{F}_E = q\,\vec{E}.
Aqui q é a carga (em coulombs), \vec{E} em \mathrm{V/m}.
  • Força magnética (força de Lorentz magnética) sobre a mesma partícula com velocidade instantânea \vec{v}:
\vec{F}_B = q\,\vec{v}\times\vec{B}.
A força magnética tem direção perpendicular tanto a \vec{v} quanto a \vec{B} (propriedade do produto vetorial).
  • Potência instantânea (taxa de trabalho) entregue por uma força é \vec{F}\cdot\vec{v}. Assim o trabalho total também pode ser obtido por integrar \vec{F}\cdot\vec{v} no tempo:
W=\int_{t_1}^{t_2} \vec{F}\cdot\vec{v}\,dt.
Essas relações são fundamentais — vou usá‑las passo a passo.

Passo 3

Cálculo do trabalho da força elétrica. Como \vec{E} é uniforme, \vec{F}_E=q\vec{E} é constante. Para um deslocamento retilíneo de \Delta\vec{r} vale:
W_E = \vec{F}_E\cdot\Delta\vec{r} = q\,\vec{E}\cdot\Delta\vec{r}.
Agora calculamos o produto escalar \vec{E}\cdot\Delta\vec{r}. Usando os componentes dados:
\vec{E}=(-1,\,3,\,2),\qquad \Delta\vec{r}=(-2,\,1,\,-1).
O produto escalar é
\vec{E}\cdot\Delta\vec{r}=(-1)(-2)+3(1)+2(-1)=2+3-2=3.
Logo
W_E = q\cdot 3.
Interpretação: o trabalho da força elétrica é \,3q\\ \mathrm{J}. Se q for positivo, o trabalho é positivo; se q for negativo, é negativo. (Aqui deixamos em função de q porque o enunciado não forneceu o valor da carga.)

Passo 4

Cálculo do trabalho da força magnética — ideia principal explicada com calma. A força magnética é \vec{F}_B=q\,\vec{v}\times\vec{B}. A potência instantânea associada é
\vec{F}_B\cdot\vec{v} = q(\vec{v}\times\vec{B})\cdot\vec{v}.
Propriedade do produto vetorial: o vetor \vec{v}\times\vec{B} é perpendicular a \vec{v}. Portanto o produto escalar de dois vetores perpendiculares é zero, o que nos dá
(\vec{v}\times\vec{B})\cdot\vec{v}=0.
Consequentemente, para qualquer instante
\vec{F}_B\cdot\vec{v}=0.
Integrando no tempo (ou ao longo da trajetória) obtemos o trabalho total:
W_B=\int_{t_1}^{t_2} \vec{F}_B\cdot\vec{v}\,dt = \int_{t_1}^{t_2} 0\,dt = 0.
Explicação em palavras: a força magnética só muda a direção do movimento (curvando a trajetória), mas não realiza trabalho porque é sempre perpendicular à velocidade; no nosso caso, a trajetória é retilínea e a força magnética fica sempre perpendicular à velocidade instantânea, então o trabalho é zero. Isso independe da velocidade numérica (os 2\\ \mathrm{m/s} não alteram esse argumento), independe do valor de q e independe da magnitude de \vec{B} — a propriedade geométrica garante W_B=0.

Passo 5

(se quiser ver em forma integral usando a parametrização retilínea: se \vec{r}(t) é a posição, então d\vec{r}=\vec{v}\,dt e)
W_B = q\int (\vec{v}\times\vec{B})\cdot d\vec{r} = q\int (\vec{v}\times\vec{B})\cdot\vec{v}\,dt = 0,
confirmando o resultado anterior.

Resposta

W_E = 3q\\ \mathrm{J}
W_B = 0\\ \mathrm{J}

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