Calcule o traço de cada uma das matrizes. Em seguida, use propriedades para calcular o valor do determinante indicado, por inspeção direta. Explique seu raciocínio.
Passo 1
O enunciado nos pede duas coisas: primeiro calcular o traço da matriz
A = 4 & 1 & 3 -2 & 0 & -2 5 & 4 & 1 ,
e em seguida usar propriedades do determinante para, por inspeção direta, concluir o seu valor sem expandir por cofatores.
Passo 2
O traço de uma matriz quadrada A, denotado tr(A), é a soma de seus elementos na diagonal principal. Logo,
tr(A) = a11 + a22 + a33 = 4 + 0 + 1 = 5
Passo 3
Para o determinante, observe as colunas de A, que chamamos de C1,C2,C3:
C1 = 4-25, C2 = 104, C3 = 3-21
Verifique que
C1 - C2 - C3 = 4-25 -104 -3-21 = 000
Isto é,
C1 = C2 + C3
Passo 4
Como o determinante é multilinear em cada coluna, temos