Calcule o traço de cada uma das matrizes. Em seguida, use propriedades para calcular o valor do determinante indicado, por inspeção direta. Explique seu raciocínio.
|ccc4 & 1 & 3 -2 & 0 & -2 5 & 4 & 1|

Passo 1

O enunciado nos pede duas coisas: primeiro calcular o traço da matriz
A = 4 & 1 & 3 -2 & 0 & -2 5 & 4 & 1 ,
e em seguida usar propriedades do determinante para, por inspeção direta, concluir o seu valor sem expandir por cofatores.

Passo 2

O traço de uma matriz quadrada A, denotado tr(A), é a soma de seus elementos na diagonal principal. Logo,
tr(A) = a11 + a22 + a33 = 4 + 0 + 1 = 5

Passo 3

Para o determinante, observe as colunas de A, que chamamos de C1,C2,C3:
C1 = 4-25, C2 = 104, C3 = 3-21
Verifique que
C1 - C2 - C3 = 4-25 -104 -3-21 = 000
Isto é,
C1 = C2 + C3

Passo 4

Como o determinante é multilinear em cada coluna, temos
det(A) = detl(C2 + C3,;C2,;C3r) = det(C2,C2,C3) + det(C3,C2,C3)
Mas em cada termo aparece uma repetição de colunas ( C2,C2 ou C3,C3), e sempre que duas colunas são iguais o determinante vale zero. Logo
det(A) = 0 + 0 = 0

Resposta

tr(A)=5
det(A)=0

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