Calcule a transformação linear
T: R^2 R^3 tq T(1,0)=(1,1,0) T(1,-1)=(1,1,1)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a transformação linear
Tcolon R^2 to R^3
sabendo que
T(1,0) = (1,1,0) e T(1,-1) = (1,1,1)
O conteúdo é usar a linearidade de T para obter T em uma base canônica de R^2.

Passo 2

Usamos a linearidade em
T(1,-1) = Tl((1,0) + (0,-1)r) = T(1,0) + T(0,-1) = T(1,0) - T(0,1)
Como T(1,-1) = (1,1,1) e T(1,0) = (1,1,0), temos
(1,1,1) = (1,1,0) - T(0,1) Longrightarrow T(0,1) = (1,1,0) - (1,1,1) = (0,0,-1)

Passo 3

Agora expressamos um vetor genérico (x,y)inR^2 na base canônica (1,0),(0,1) e aplicamos linearidade:
T(x,y) = x,T(1,0) ;+; y,T(0,1)

Passo 4

Substituindo os valores de T(1,0) e T(0,1):
T(x,y) = x,(1,1,0) + y,(0,0,-1) = (x,,x,,-y)

Resposta

T(x,y) = (x,,x,,-y)

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