Determine a matriz da transformação linear nas bases beta e alpha
T: R^2 R^3 ; T(x, y)=(x+2 y, x-y, x) e
alpha=(1,2),(0,-1) subset R^2 e beta=(1,1,0),(0,1,-1),(0,1,0)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Tcolon R^2 to R^3, T(x,y)=(x+2y,;x-y,;x)
e as bases
alpha=(1,2),(0,-1) em R^2 e
beta=(1,1,0),(0,1,-1),(0,1,0) em R^3.
Para obter a matriz [T]beta,alpha, aplicamos T a cada vetor de alpha e escrevemos o resultado em coordenadas na base beta.

Passo 2

Calcular T no primeiro vetor de alpha, (1,2):
T(1,2) = l(1 + 2cdot2,;1-2,;1r) = (5,,-1,,1)

Passo 3

Expressar
Isso gera o sistema
Daí , .
Logo as coordenadas de em são .

Passo 4

Calcular T no segundo vetor de alpha, (0,-1):
T(0,-1) = l(0 + 2cdot(-1),;0-(-1),;0r) = (-2,,1,,0)

Passo 5

Expressar
gera
Logo , .
As coordenadas de em são .

Passo 6

A matriz [T]beta,alpha tem como colunas as coordenadas de T dos vetores de alpha em beta. Portanto
[T]beta,alpha = 5 & -2 -1 & 0 -5 & 3

Resposta

[T]beta,alpha = 5 & -2 -1 & 0 -5 & 3

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