Determine o valor de k para que a reta r: x-k^2k^2=y-32 k=z-940 esteja contida no plano pi:-4 x+2 y+2 z+40=0.
Resposta: square

Passo 1

O enunciado pede o valor de k para que a reta
r:;x-k^2k^2=y-32k=z-940
esteja contida no plano
pi:;-4x+2y+2z+40=0
O conteúdo aqui é geometria analítica: a reta está num plano se, e somente se, seu vetor diretor for ortogonal ao normal do plano (para garantir paralelismo) e se um ponto da reta satisfizer a equação do plano (para garantir que passe pelo plano).

Passo 2

Escrevemos a reta em forma paramétrica. Seja t o parâmetro comum, então
x = k^2t + k^2, y = 2k,t + 3, z = 40,t + 9
Dessa forma, um ponto da reta é
P0=(k^2,,3,,9)
e o vetor diretor é
v=(k^2,,2k,,40)

Passo 3

O vetor normal ao plano pi é
n=(-4,,2,,2)
Para que a reta seja paralela ao plano, precisamos de
ncdotv=0
ou seja,
-4cdot k^2 + 2cdot(2k) + 2cdot 40 = 0
-4k^2 +4k +80 = 0
k^2 - k -20 = 0
k = 1pmraiz1+802 = 1pm92;Longrightarrow;k=5 ou k=-4

Passo 4

Agora exigimos que o ponto P0=(k^2,3,9) satisfaça pi. Substituindo em -4x+2y+2z+40=0:
-4,k^2 +2cdot3 +2cdot9 +40 = 0
-4k^2 +6 +18 +40 = 0
-4k^2 +64 = 0
k^2 = 16
k = 4 ou k = -4

Passo 5

Para que a reta esteja inteira no plano, ambas as condições (diretor ortogonal ao normal e ponto no plano) devem valer. Das soluções obtidas em cada condição, o único k comum a 5,-4 e 4,-4 é
k = -4

Resposta

-4

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