Determine a matriz da transformação linear nas bases beta e alpha
T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x+y, x-z, x+y+z)
alpha=(1,-1,0),(0,1,0),(0,0,1) beta=(1,0,1),(0,1,0),(-1,0,01

Passo 1

O enunciado pede a matriz de T em que o domínio está na base beta e o contradomínio na base alpha. Para isso seguimos o procedimento padrão de representação de transformações lineares em bases não-canônicas:
  1. Aplicar T a cada vetor de beta.
  2. Expressar cada imagem nas coordenadas da base alpha.
  3. Montar a matriz cujas colunas são essas coordenadas.

Passo 2

Calculemos as imagens dos vetores de beta sob T. Assumindo
beta1=(1,0,1),;beta2=(0,1,0),;beta3=(-1,0,1), temos
T(beta1)=T(1,0,1)=(1+0,;1-1,;1+0+1)=(1,0,2),
T(beta2)=T(0,1,0)=(0+1,;0-0,;0+1+0)=(1,0,1),
T(beta3)=T(-1,0,1)=(-1+0,;-1-1,;-1+0+1)=(-1,-2,0)

Passo 3

Para expressar um vetor qualquer (u,v,w) nas coordenadas da base
alpha=la1=(1,-1,0),,a2=(0,1,0),,a3=(0,0,1)r, resolvemos
c1,a1+c2,a2+c3,a3 =(c1,,-c1+c2,;c3) =(u,v,w)
Dessa forma
c1 = u, -c1 + c2 = v Rightarrow c2=v+u, c3=w,
ou seja
[(u,v,w)]alpha = (,u,;v+u,;w,)

Passo 4

Aplicando essa fórmula às imagens encontradas:
Para T(beta1)=(1,0,2) temos
[T(beta1)]alpha=(,1,;0+1,;2)=(1,1,2)
Para T(beta2)=(1,0,1) temos
[T(beta2)]alpha=(,1,;0+1,;1)=(1,1,1)
Para T(beta3)=(-1,-2,0) temos
[T(beta3)]alpha=(,-1,;-2+(-1),;0)=(-1,-3,0)

Passo 5

A matriz de T em que as colunas são [T(betaj)]alpha é
[T]alphabeta = 1 & 1 & -1 1 & 1 & -3 2 & 1 & 0

Resposta

[T]alphabeta = 1 & 1 & -1 1 & 1 & -3 2 & 1 & 0

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