Calcule a transformada de Fourier de ccL, & se |x|= L, com L>0.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular a transformada de Fourier da função f(x) definida por f(x)=L se |x| e f(x)=0 caso contrário. O conteúdo envolve transformada de Fourier de funções definidas por partes e integrais de exponenciais.

Passo 2

Com base na definição padrão de transformada de Fourier
hat f(omega)=integral-infty^inftyf(x)e^-iomega x,dx
como f(x)=0 para |x|>= L, a integral reduz-se a
hat f(omega)=Lintegral-L^Le^-iomega x,dx

Passo 3

Para calcular integral-L^Le^-iomega x,dx, usamos a primitiva
integral e^-iomega x,dx=e^-iomega x-iomega,
avaliando de -L a L. Isso resulta em
integral-L^Le^-iomega x,dx=e^-iomega L-e^iomega L-iomega=2sin(omega L)omega

Passo 4

Multiplicando pelo fator L que estava fora da integral, obtemos
hat f(omega)=Lcdot2sin(omega L)omega=2Lsin(omega L)omega Note que o resultado é real e par em omega.

Resposta

hat f(omega)=2Lsin(omega L)omega

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