Classifique os pontos críticos de :
f(x, y)=\frac{x^{3}}{3}+y^{2}+2 x y-6 x-3 y+4

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos da função
f(x,y)=\frac{x^{3}}{3}+y^{2}+2xy-6x-3y+4.
O conteúdo chave é:
– calcular as derivadas parciais \partial f/\partial x e \partial f/\partial y, resolver o sistema \nabla f=0 para achar os pontos críticos;
– usar o teste da matriz Hessiana, ou seja, avaliar
D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2
e o sinal de f_{xx} em cada ponto para decidir se é mínimo, máximo ou sela.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x} = x^2 + 2y - 6, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = 2y + 2x - 3.

Passo 3

Resolver o sistema
\begin{cases} x^2 + 2y - 6 = 0,\\\\ 2y + 2x - 3 = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem
2y = 3 - 2x \quad\Longrightarrow\quad y = -x + \tfrac{3}{2}.
Substituindo em x^2 + 2y - 6 = 0:
x^2 + 2\bigl(-x + \tfrac{3}{2}\bigr) - 6 = x^2 -2x +3 -6 = x^2 -2x -3 = 0.
Resolvendo x^2 -2x -3=0
x = \frac{2 \pm \sqrt{4 +12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \;\Longrightarrow\; x=3 \quad\text{ou}\quad x=-1.
Correspondentes y são
\text{se }x=3,\;y=-3+\tfrac{3}{2}=-\tfrac{3}{2}; \qquad \text{se }x=-1,\;y=1+\tfrac{3}{2}=\tfrac{5}{2}.
Logo, os pontos críticos são
(3,\,-\tfrac{3}{2}) \quad\text{e}\quad (-1,\,\tfrac{5}{2}).

Passo 4

Construir a matriz Hessiana
H = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x & 2\\\\ 2 & 2 \end{pmatrix}.
O determinante principal é
D = f_{xx}\,f_{yy} - (f_{xy})^2 = (2x)\cdot 2 - 2^2 = 4x - 4.
– Em (3,-\tfrac{3}{2}):
f_{xx}(3,-\tfrac{3}{2}) = 2\cdot 3 = 6,\quad D = 4\cdot 3 -4 = 8 > 0.
Como D>0 e f_{xx}>0, esse ponto é mínimo local.
– Em (-1,\tfrac{5}{2}):
f_{xx}(-1,\tfrac{5}{2}) = 2\cdot(-1) = -2,\quad D = 4\cdot(-1) -4 = -8 < 0.
Como D<0, esse ponto é ponto de sela.

Resposta

O ponto \bigl(3,-\tfrac{3}{2}\bigr) é um mínimo local e o ponto \bigl(-1,\tfrac{5}{2}\bigr) é um ponto de sela.

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