Parametrize as seguintes curvas:
O segmento de reta delimitado pelos pontos (1,2,-1) e (2,3,5).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai resolver um exercício de parametrização de curvas, que faz parte da matéria de Geometria Analítica. O problema pede para parametrizar o segmento de reta que liga os pontos (1, 2, -1) e (2, 3, 5) . Para isso, vamos precisar entender como criar uma representação paramétrica para uma reta no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma parametrização de uma reta no espaço pode ser feita usando uma equação vetorial. Para isso, precisamos de um ponto inicial na reta e de um vetor diretor, que indica a direção da reta.

Passo 3

Vamos identificar o ponto inicial. Podemos escolher qualquer um dos dois pontos dados. Vamos pegar P0 = (1, 2, -1) como ponto inicial.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o vetor diretor da reta. O vetor diretor é dado pela diferença entre os dois pontos. Vamos calcular:
d = P1 - P0 = (2 - 1, 3 - 2, 5 - (-1)) = (1, 1, 6)
Então, nosso vetor diretor é d = (1, 1, 6) .

Passo 5

Com o ponto inicial P0 e o vetor diretor d , podemos escrever a parametrização da reta. A forma geral da parametrização é:
r(t) = P0 + t cdot d
Onde t é o parâmetro que varia ao longo da reta.

Passo 6

Substituindo os valores que encontramos:
r(t) = (1, 2, -1) + t cdot (1, 1, 6)
Isso dá:
r(t) = (1 + t, 2 + t, -1 + 6t)

Passo 7

Como estamos falando de um segmento de reta delimitado pelos pontos P0 e P1 , o parâmetro t deve variar de 0 a 1. Quando t = 0 , estamos no ponto P0 , e quando t = 1 , chegamos no ponto P1 .

Resposta

A parametrização do segmento de reta entre os pontos (1, 2, -1) e (2, 3, 5) é dada por:
r(t) = (1 + t, 2 + t, -1 + 6t) para 0 <= t <= 1

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