Calcule a transformada inversa de Laplace das expressões abaixo.
1(s-3)(s^2-6 s+14)

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função
F(s)=1(s-3)l(s^2-6s+14r)
O conteúdo necessário envolve o teorema de linearidade, a propriedade de deslocamento no eixo s e frações parciais para decompor em termos cujas inversas são conhecidas (exponencial e cosseno).

Passo 2

Reescrevemos o segundo fator do denominador completando quadrado:
s^2-6s+14=(s-3)^2+5
Para facilitar, façamos a mudança de variável u=s-3. Então
F(s)=1u,(u^2+5)
Fazemos a decomposição em frações parciais:
1u,(u^2+5)=Au+B,u+Cu^2+5
Multiplicando por u(u^2+5) obtemos
1=A,(u^2+5)+(B,u+C),u = (A+B),u^2+C,u+5A

Passo 3

Comparando coeficientes em
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Em termos de (s], isso dá

Passo 4

Usamos as transformadas inversas conhecidas:
L^-1!l[1s-3r]=e^3t, L^-1!l[s-3(s-3)^2+(raiz5)^2r]=e^3tcos(raiz5,t)
Aplicando linearidade,
f(t)=15,e^3t -15,e^3tcos(raiz5,t)

Passo 5

Colocando em forma fatorada,
f(t)=e^3t5l[1-cos(raiz5,t)r]

Resposta

boxedf(t)=e^3t5l(1-cos(raiz5,t)r)

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