Calcule a Transformada Inversa de Laplace da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada Inversa de Laplace! A gente precisa achar a transformada inversa da função
. Para isso, vamos usar o método de frações parciais, que nos ajuda a decompor a função em partes mais simples para facilitar a inversão.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão de
:
A ideia aqui é escrever
como uma soma de termos mais simples. Ou seja, queremos achar constantes
,
e
tais que:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Expandindo cada termo:
Então, juntando tudo:
Passo 4
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Para que essa igualdade seja válida para todos os valores de
, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
-
(coeficiente de ) -
(coeficiente de ) -
(termo constante)
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar substituição ou métodos matriciais, mas aqui vou resolver passo a passo.
Primeiro, da equação 1:
Agora, substituímos
nas equações 2 e 3:
Equação 2:
Equação 3:
Agora, resolvemos Equação 4 para
:
Substituímos isso na Equação 5:
Agora, encontramos
:
E finalmente,
:
Passo 6
Agora que temos os valores de
,
e
, podemos reescrever
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso:
Passo 8
Agora, juntamos tudo para achar
:
Resposta
A Transformada Inversa de Laplace de
é: