Calcule a Transformada Inversa de Laplace da função F(s).
F(s) = (s^2 + 6s + 9) / ((s - 1)(s - 2)(s + 4))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada Inversa de Laplace! A gente precisa achar a transformada inversa da função . Para isso, vamos usar o método de frações parciais, que nos ajuda a decompor a função em partes mais simples para facilitar a inversão.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão de :
A ideia aqui é escrever como uma soma de termos mais simples. Ou seja, queremos achar constantes , e tais que:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:
Expandindo cada termo:
Então, juntando tudo:

Passo 4

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Para que essa igualdade seja válida para todos os valores de , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
  1. (coeficiente de )
  2. (coeficiente de )
  3. (termo constante)

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar substituição ou métodos matriciais, mas aqui vou resolver passo a passo.
Primeiro, da equação 1:
Agora, substituímos nas equações 2 e 3:
Equação 2:
çã
Equação 3:
çã
Agora, resolvemos Equação 4 para :
Substituímos isso na Equação 5:
Agora, encontramos :
E finalmente, :

Passo 6

Agora que temos os valores de , e , podemos reescrever :
Simplificando:

Passo 7

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso:

Passo 8

Agora, juntamos tudo para achar :

Resposta

A Transformada Inversa de Laplace de é:

Exercícios relacionados