Desenhe e calcule o volume da região dada por
e
, onde
são constantes reais positivas.
DICA: Como sempre falo em sala de aula,
DICA: Como sempre falo em sala de aula,
Passo 1
Vamos resolver um exercício que pede para desenhar e calcular o volume de uma região definida por certas desigualdades. O conteúdo principal aqui é o cálculo de volumes usando integrais múltiplas. Para isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e aplicar a fórmula de volume através de integrais triplas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que estamos tentando encontrar o volume. As desigualdades dadas são:
Isso significa que a variável
varia de
a
,
vai de
a
, e
varia de
a
.
Passo 3
Vamos desenhar essa região. Para cada valor de
entre
e
, o valor de
forma um intervalo de
a
, que descreve um círculo no plano
com raio
. O valor de
simplesmente se estende de
a
, criando uma “altura” nessa estrutura circular. Portanto, a região é um cilindro com altura
e base circular de raio
.
Passo 4
Agora, para calcular o volume dessa região, vamos usar uma integral tripla. A fórmula geral para o volume é:
Onde
é o elemento de volume. Neste caso, podemos configurar a integral nas coordenadas cartesianas.
Passo 5
Vamos definir os limites de integração para cada variável:
- Para
, de a . - Para
, de a . - Para
, de a .
Assim, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Passo 7
Substituindo o resultado da integral em
na integral do meio (em relação a
):
Passo 8
Agora, precisamos integrar o resultado em relação a
:
Essa integral é conhecida e corresponde à área de um semicírculo de raio
multiplicada por
.
Passo 9
Calculando a integral:
Portanto,
Resposta
O volume da região é
.