Desenhe e calcule o volume da região dada por -a <= x <= a, 0 <= y <= h e -raiz(a^2 - x^2) <= z <= raiz(a^2 - x^2), onde a, h são constantes reais positivas.
DICA: Como sempre falo em sala de aula,

Passo 1

Vamos resolver um exercício que pede para desenhar e calcular o volume de uma região definida por certas desigualdades. O conteúdo principal aqui é o cálculo de volumes usando integrais múltiplas. Para isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e aplicar a fórmula de volume através de integrais triplas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos tentando encontrar o volume. As desigualdades dadas são:
  • -a <= x <= a
  • -raiz(a^2 - x^2) <= z <= raiz(a^2 - x^2)
Isso significa que a variável x varia de -a a a, y vai de 0 a h, e z varia de a .

Passo 3

Vamos desenhar essa região. Para cada valor de x entre -a e a, o valor de z forma um intervalo de a , que descreve um círculo no plano com raio a. O valor de y simplesmente se estende de 0 a h, criando uma “altura” nessa estrutura circular. Portanto, a região é um cilindro com altura h e base circular de raio a.

Passo 4

Agora, para calcular o volume dessa região, vamos usar uma integral tripla. A fórmula geral para o volume é:
Onde é o elemento de volume. Neste caso, podemos configurar a integral nas coordenadas cartesianas.

Passo 5

Vamos definir os limites de integração para cada variável:
  • Para x, de -a a a.
  • Para y, de 0 a h.
  • Para z, de a .
Assim, a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a z:

Passo 7

Substituindo o resultado da integral em z na integral do meio (em relação a y):

Passo 8

Agora, precisamos integrar o resultado em relação a x:
Essa integral é conhecida e corresponde à área de um semicírculo de raio a multiplicada por .

Passo 9

Calculando a integral:
Portanto,

Resposta

O volume da região é .

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