Calcule a transformada inversa de Laplace das funcões indicadas.
F(s)=\frac{s-2}{(s+3)(s-4)(s-6)}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=\frac{s-2}{(s+3)(s-4)(s-6)}.
O conteúdo aqui é usar frações parciais para decompor F(s) em termos de funções cuja transformada inversa a gente conhece (exponenciais).

Passo 2

Vamos supor a decomposição
\frac{s-2}{(s+3)(s-4)(s-6)} =\frac{A}{s+3}+\frac{B}{s-4}+\frac{C}{s-6}.
Multiplicando ambos os lados por (s+3)(s-4)(s-6), obtemos a identidade de numeradores
s-2 = A\,(s-4)(s-6)+B\,(s+3)(s-6)+C\,(s+3)(s-4).

Passo 3

Usamos o método do “cover-up” para achar A, B e C avaliando nos pólos:
A = \left.\frac{s-2}{(s-4)(s-6)}\right|_{s=-3} =\frac{-3-2}{(-3-4)(-3-6)} =-\frac{5}{63},
B = \left.\frac{s-2}{(s+3)(s-6)}\right|_{s=4} =\frac{4-2}{(4+3)(4-6)} =-\frac{1}{7},
C = \left.\frac{s-2}{(s+3)(s-4)}\right|_{s=6} =\frac{6-2}{(6+3)(6-4)} =\frac{2}{9}.

Passo 4

Agora reescrevemos
F(s) =-\frac{5}{63}\,\frac{1}{s+3} -\frac{1}{7}\,\frac{1}{s-4} +\frac{2}{9}\,\frac{1}{s-6}.
Sabendo que \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-a}\}=e^{at}, concluímos
f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} =-\frac{5}{63}e^{-3t} -\frac{1}{7}e^{4t} +\frac{2}{9}e^{6t},\quad t\ge0.

Resposta

f(t)=-\frac{5}{63}e^{-3t}-\frac{1}{7}e^{4t}+\frac{2}{9}e^{6t}.

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