Calcule a transformada inversa de Laplace das funcões indicadas.
F(s)=\frac{3 s}{s^{2}+4}-\frac{6}{s^{4}}+\frac{2}{s+3}-\frac{3}{s}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função
F(s)=\frac{3s}{s^{2}+4}-\frac{6}{s^{4}}+\frac{2}{s+3}-\frac{3}{s}.
Estamos no conteúdo de transformada inversa de Laplace e vamos usar a linearidade e tabelas básicas:
\mathcal{L}^{-1}\{s/(s^{2}+\omega^{2})\}=\cos(\omega t),
\mathcal{L}^{-1}\{1/s^{n+1}\}=t^{n}/n!,
\mathcal{L}^{-1}\{1/(s+a)\}=e^{-a t},
\mathcal{L}^{-1}\{1/s\}=1.

Passo 2

Separamos F(s) termo a termo e aplicamos a linearidade:
f(t)=\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{3s}{s^{2}+4}\Bigr\} -\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{6}{s^{4}}\Bigr\} +\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{2}{s+3}\Bigr\} -\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{3}{s}\Bigr\}.

Passo 3

Para \displaystyle \frac{3s}{s^{2}+4}: note que
\mathcal{L}\{\cos(2t)\}=\frac{s}{s^{2}+2^{2}},
então
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{3s}{s^{2}+4}\Bigr\} =3\,\cos(2t).

Passo 4

Para \displaystyle -\frac{6}{s^{4}}: usamos
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s^{4}}\Bigr\}=\frac{t^{3}}{3!}=\frac{t^{3}}{6},
logo
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{-\frac{6}{s^{4}}\Bigr\} =-6\cdot\frac{t^{3}}{6}=-t^{3}.

Passo 5

Para \displaystyle \frac{2}{s+3}: como
\mathcal{L}\{e^{-3t}\}=\frac{1}{s+3},
temos
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{2}{s+3}\Bigr\} =2\,e^{-3t}.

Passo 6

Para \displaystyle -\frac{3}{s}: usamos
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s}\Bigr\}=1,
então
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{-\frac{3}{s}\Bigr\} =-3.

Resposta

Juntando tudo, a transformada inversa de Laplace é
f(t)=3\cos(2t)\;-\;t^{3}\;+\;2e^{-3t}\;-\;3.

Exercícios relacionados