Question 4 Determine os valores máximos e minimos locais e pontos de sela da funçạo f(x, y)= x^{3} y+12 x-8 y.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=x^{3}y+12x-8y
e pede para determinar os pontos críticos (onde as derivadas parciais se anulam) e, em seguida, classificar cada ponto como máximo local, mínimo local ou ponto de sela, usando o teste das derivadas segundas.

Passo 2

Calcule as derivadas parciais de primeira ordem e iguale a zero:
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}y+12,\quad \frac{\partial f}{\partial y}=x^{3}-8.
Igualando a zero, temos
x^{3}-8=0\implies x=2,
e
3\cdot2^{2}\,y+12=0\implies 12y+12=0\implies y=-1.
Portanto, há um único ponto crítico em (2,-1).

Passo 3

Encontre as derivadas parciais de segunda ordem:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=6xy,\quad \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=3x^{2},\quad \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=0.

Passo 4

Avalie as segundas derivadas no ponto (2,-1):
f_{xx}(2,-1)=6\cdot2\cdot(-1)=-12,\quad f_{xy}(2,-1)=3\cdot2^{2}=12,\quad f_{yy}(2,-1)=0.
Calcule o discriminante do Hessiano:
D = f_{xx}\,f_{yy} - \bigl(f_{xy}\bigr)^{2} = (-12)\cdot0 - 12^{2} = -144 <0.
Como D<0, o ponto crítico (2,-1) é um ponto de sela.

Resposta

Não há máximos nem mínimos locais; existe um ponto de sela em (2,-1).

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