Calcule a transformada inversa de Laplace das funcões indicadas.
F(s)=\frac{5}{(s+2)(s-3) s}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=\frac{5}{s\,(s+2)\,(s-3)}.
Vamos usar o método de frações parciais e em seguida aplicar a tabela básica \mathcal{L}^{-1}.

Passo 2

Assumimos a decomposição em frações parciais
\frac{5}{s\,(s+2)\,(s-3)} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s+2}+\frac{C}{s-3}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por s(s+2)(s-3) obtemos a identidade
5 = A\,(s+2)(s-3)\;+\;B\,s\,(s-3)\;+\;C\,s\,(s+2).

Passo 4

Para determinar A, B e C usamos valores convenientes de s:
Em s=0:
5 = A\cdot2\cdot(-3) \quad\Longrightarrow\quad A = -\frac{5}{6}.
Em s=-2:
5 = B\cdot(-2)\cdot(-5) \quad\Longrightarrow\quad B = \frac12.
Em s=3:
5 = C\cdot3\cdot5 \quad\Longrightarrow\quad C = \frac13.

Passo 5

Aplicando a transformada inversa em cada termo: \mathcal{L}^{-1}\bigl\{\tfrac{A}{s}\bigr\}=A, \mathcal{L}^{-1}\bigl\{\tfrac{B}{s+2}\bigr\}=B\,e^{-2t}, \mathcal{L}^{-1}\bigl\{\tfrac{C}{s-3}\bigr\}=C\,e^{3t}.
Logo, para t\ge0,
f(t) =-\tfrac{5}{6} +\tfrac12\,e^{-2t} +\tfrac13\,e^{3t}.

Resposta

f(t) = -\frac{5}{6} + \frac{1}{2}e^{-2t} + \frac{1}{3}e^{3t},\quad t\ge0.

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