1. \int_{0}^{\pi / 3} 4 \operatorname{sec} u \operatorname{tg} u d u

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/3}4\operatorname{sec} u\,\tan u\,du.
O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas, em especial usar que a derivada de \operatorname{sec} u é \operatorname{sec} u\tan u.

Passo 2

Observamos que podemos tirar o fator constante 4 para fora da integral:
\int_{0}^{\pi/3}4\operatorname{sec} u\,\tan u\,du =4\int_{0}^{\pi/3}\operatorname{sec} u\,\tan u\,du.

Passo 3

Como \frac{d}{du}(\operatorname{sec} u)=\operatorname{sec} u\tan u, a antiderivada de \operatorname{sec} u\tan u é \operatorname{sec} u. Logo,
\int\operatorname{sec} u\,\tan u\,du=\operatorname{sec} u + C.
Portanto,
4\int_{0}^{\pi/3}\operatorname{sec} u\,\tan u\,du =4\bigl[\operatorname{sec} u\bigr]_{0}^{\pi/3}.

Passo 4

Agora avaliamos nos limites:
\operatorname{sec}\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=2, \qquad \operatorname{sec}(0)=1.
Logo,
4\bigl[\operatorname{sec} u\bigr]_{0}^{\pi/3} =4\bigl(2-1\bigr) =4.

Resposta

4

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