Calcule a transformada de Laplace das funcōes indicadas.
f(s)=t^{4} e^{t}-e^{-3 t} \operatorname{sen} t+5 t^{7}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função f(t)=t^{4}e^{t}-e^{-3t}\sin t+5t^{7}.
O conteúdo principal é a definição linear da transformada de Laplace, a transformada de potências t^{n} e o teorema do descolamento no eixo s para exponenciais.

Passo 2

Usamos a linearidade da transformada de Laplace para escrever
\mathcal{L}\{f(t)\} =\mathcal{L}\{t^{4}e^{t}\} -\mathcal{L}\{e^{-3t}\sin t\} +5\,\mathcal{L}\{t^{7}\}.

Passo 3

Para \mathcal{L}\{t^{4}e^{t}\} aplicamos o teorema do descolamento:
se \mathcal{L}\{t^{n}\}=\dfrac{n!}{s^{n+1}}, então \mathcal{L}\{t^{4}e^{at}\}=\dfrac{4!}{(s-a)^{5}}.
Aqui a=1, logo
\mathcal{L}\{t^{4}e^{t}\} =\frac{4!}{(s-1)^{5}} =\frac{24}{(s-1)^{5}}.

Passo 4

Para \mathcal{L}\{e^{-3t}\sin t\} usamos novamente o descolamento: \mathcal{L}\{\sin t\}=\dfrac{1}{s^{2}+1} e, com a=-3,
\mathcal{L}\{e^{-3t}\sin t\} =\left.\frac{1}{s^{2}+1}\right|_{s\to s+3} =\frac{1}{(s+3)^{2}+1}.

Passo 5

Para \mathcal{L}\{5t^{7}\} usamos \mathcal{L}\{t^{n}\}=\dfrac{n!}{s^{n+1}} com n=7:
\mathcal{L}\{t^{7}\} =\frac{7!}{s^{8}} =\frac{5040}{s^{8}},
multiplicando por 5
5\,\mathcal{L}\{t^{7}\} =\frac{5\cdot5040}{s^{8}} =\frac{25200}{s^{8}}.

Passo 6

Agora somamos as três parcelas obtidas:
\mathcal{L}\{f(t)\} =\frac{24}{(s-1)^{5}} -\frac{1}{(s+3)^{2}+1} +\frac{25200}{s^{8}}.

Resposta

\mathcal{L}\{t^{4}e^{t}-e^{-3t}\sin t+5t^{7}\} =\frac{24}{(s-1)^{5}} -\frac{1}{(s+3)^{2}+1} +\frac{25200}{s^{8}}.

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