Calcule a transformada inversa de Laplace mathscrL^-1 Y :
Y(s)=(s-1) e^-2 ss^2-2 s+2

Passo 1

A questão pede pra achar a transformada inversa de Laplace de Y(s) = (s-1)e^-2ss^2-2s+2. O conteúdo envolve transformada inversa de Laplace e o teorema do segundo deslocamento no tempo. Vamos precisar completar o quadrado no denominador e usar tabela de transformadas e o deslocamento.

Passo 2

Primeiro isolo a parte sem o atraso: defino G(s) = s - 1s^2 - 2s + 2, assim posso tratar o fator e^-2s separadamente via teorema do deslocamento.
Observando o denominador, completo o quadrado para identificar o padrão de transformada:
s^2 - 2s + 2 = (s - 1)^2 + 1
Então G(s) = s - 1(s - 1)^2 + 1.

Passo 3

Na tabela de transformadas, sabemos que mathscrLe^atcos(bt) = s - a(s - a)^2 + b^2. Comparando, vemos que a = 1 e b = 1. Logo mathscrL^-1G(s) = e^tcos(t) para t >= 0.

Passo 4

Agora aplico o teorema do segundo deslocamento no tempo: se mathscrLu(t - a)g(t - a) = e^-asG(s), então mathscrL^-1e^-2sG(s) = u(t - 2),g(t - 2). Substituindo g(t) = e^tcos(t), fica y(t) = u(t - 2),e^t - 2cos(t - 2).

Resposta

y(t) = u(t - 2)e^t - 2cos(t - 2)

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