Calcule a transformada inversa de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: calcular a transformada inversa de Laplace de
.
Ou seja, encontrar uma função tal que
. Não há outras informações numéricas além da própria expressão de
.
Ou seja, encontrar uma função
Passo 2
Lembrete útil (parcela de teoria que vamos usar): existe uma relação padrão entre potências de
multiplicadas por exponenciais e potências no domínio
. Para inteiro
e constante
vale
Aqui:
-
é a variável temporal (domínio da função que queremos), -
é a variável do domínio de Laplace, -
é constante (deslocamento exponencial), -
é o fatorial de (por exemplo ).
Vou explicar rapidamente de onde vem essa fórmula para você entender bem.
Passo 3
Derivação rápida da fórmula (para fixar a ideia): por definição da transformada de Laplace,
A integral acima é um caso da integral de Gamma para inteiro
:
Aqui
. Substituindo obtemos exatamente
Passo 4
Aplicando ao caso concreto: queremos algo que gere
. Compare com a fórmula acima: se tomarmos
e
então
Portanto a transformada de
é
.
Passo 5
Como
e
, concluímos que
é metade da transformada de
. Assim a transformada inversa é
Passo 6
Verificação rápida (controlinho que sempre é bom fazer): calcule a transformada de
:
confirma que está correto.