Calcule a transformada inversa de Laplace das seguintes funções:
F(s)=\frac{1}{(s+2)^{3}}\

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: calcular a transformada inversa de Laplace de F(s)=\dfrac{1}{(s+2)^{3}}.
Ou seja, encontrar uma função f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s). Não há outras informações numéricas além da própria expressão de F(s).

Passo 2

Lembrete útil (parcela de teoria que vamos usar): existe uma relação padrão entre potências de t multiplicadas por exponenciais e potências no domínio s. Para inteiro n\ge0 e constante a vale
\mathcal{L}\{t^{n} e^{-a t}\}(s)=\frac{n!}{(s+a)^{n+1}}.
Aqui:
  • t é a variável temporal (domínio da função que queremos),
  • s é a variável do domínio de Laplace,
  • a é constante (deslocamento exponencial),
  • n! é o fatorial de n (por exemplo 2!=2).
Vou explicar rapidamente de onde vem essa fórmula para você entender bem.

Passo 3

Derivação rápida da fórmula (para fixar a ideia): por definição da transformada de Laplace,
\mathcal{L}\{t^{n} e^{-a t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} t^{n} e^{-a t} e^{-s t}\,dt =\int_{0}^{\infty} t^{n} e^{-(s+a)t}\,dt.
A integral acima é um caso da integral de Gamma para inteiro n:
\int_{0}^{\infty} t^{n} e^{-p t}\,dt=\frac{n!}{p^{\,n+1}},\quad \text{para }p>0.
Aqui p=s+a. Substituindo obtemos exatamente
\mathcal{L}\{t^{n} e^{-a t}\}(s)=\frac{n!}{(s+a)^{n+1}}.

Passo 4

Aplicando ao caso concreto: queremos algo que gere (s+2)^{-3}. Compare com a fórmula acima: se tomarmos a=2 e n=2 então
\mathcal{L}\{t^{2} e^{-2 t}\}(s)=\frac{2!}{(s+2)^{3}}=\frac{2}{(s+2)^{3}}.
Portanto a transformada de t^{2} e^{-2t} é 2/(s+2)^{3}.

Passo 5

Como F(s)=\dfrac{1}{(s+2)^{3}} e \mathcal{L}\{t^{2} e^{-2t}\}=\dfrac{2}{(s+2)^{3}}, concluímos que F(s) é metade da transformada de t^{2} e^{-2t}. Assim a transformada inversa é
f(t)=\frac{1}{2}\,t^{2} e^{-2t},\qquad t\ge 0.

Passo 6

Verificação rápida (controlinho que sempre é bom fazer): calcule a transformada de \dfrac{1}{2}t^{2}e^{-2t}:
\mathcal{L}\left\{\frac{1}{2}t^{2}e^{-2t}\right\}(s)=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{(s+2)^{3}}=\frac{1}{(s+2)^{3}}=F(s),
confirma que está correto.

Resposta

\dfrac{1}{2}\,t^{2}e^{-2t}

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