Calcule a transformada inversa de Laplace das seguintes funções:
F(s)=2 s\left(\frac{1}{s^{2}-4}+\frac{1}{s\left(s^{2}-4\right)}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pedem a transformada inversa de Laplace da função
F(s)=2 s\left(\frac{1}{s^{2}-4}+\frac{1}{s\left(s^{2}-4\right)}\right).
  • Informação útil: toda expressão matemática acima será manipulada algébrica e depois aplicada a fórmulas usuais da transformada inversa de Laplace. Não há figuras nem dados adicionais.

Passo 2

Simplificar a expressão algébrica antes de inverter — isso facilita muito a vida.
Primeiro juntar as frações dentro do parêntese com denominador comum s(s^2-4):
\frac{1}{s^{2}-4}+\frac{1}{s\left(s^{2}-4\right)}=\frac{s}{s\left(s^{2}-4\right)}+\frac{1}{s\left(s^{2}-4\right)}=\frac{s+1}{s\left(s^{2}-4\right)}.
Multiplicando por 2s obtemos cancelamento do s:
F(s)=2s\cdot\frac{s+1}{s\left(s^{2}-4\right)}=2\cdot\frac{s+1}{s^{2}-4}.
Portanto a função a inverter é
F(s)=2\frac{s+1}{s^{2}-4}.

Passo 3

Lembrar as transformadas de Laplace elementares que vamos usar e como obtê-las (mini-aula prática).
  • Definição (intuição rápida): a transformada de Laplace de f(t) é \displaystyle \mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt. A transformada inversa devolve f(t) a partir de F(s).
  • Fórmulas que usaremos (derivadas facilmente da definição ou escrevendo hiperbólicas em termos de exponenciais):
    • Para a>0, \mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(at)\}(s)=\frac{s}{s^{2}-a^{2}},porque \operatorname{cosh}(at)=\tfrac{1}{2}(e^{at}+e^{-at}) e \mathcal{L}\{e^{\alpha t}\}=\tfrac{1}{s-\alpha}.
    • Para a>0, \mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(at)\}(s)=\frac{a}{s^{2}-a^{2}}.
  • Reescrevendo estas identidades para inversão:
    • \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{s^{2}-a^{2}}\right\}=\operatorname{cosh}(at).
    • \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}-a^{2}}\right\}=\frac{1}{a}\operatorname{sinh}(at).
No nosso caso a=2 porque s^{2}-4=s^{2}-2^{2}.

Passo 4

Separar F(s) em termos que correspondam às transformadas conhecidas.
Escrevemos
F(s)=2\frac{s+1}{s^{2}-4}=2\frac{s}{s^{2}-4}+2\frac{1}{s^{2}-4}.
Aplicando as inversas (com a=2):
  • Para o primeiro termo, \mathcal{L}^{-1}\!\left\{2\frac{s}{s^{2}-4}\right\}=2\operatorname{cosh}(2t).
  • Para o segundo termo, usando \mathcal{L}^{-1}\{1/(s^{2}-4)\}=(1/2)\operatorname{sinh}(2t), \mathcal{L}^{-1}\!\left\{2\frac{1}{s^{2}-4}\right\}=2\cdot\frac{1}{2}\operatorname{sinh}(2t)=\operatorname{sinh}(2t).
Somando as duas partes obtemos a função no tempo:
f(t)=2\operatorname{cosh}(2t)+\operatorname{sinh}(2t).

Passo 5

Forma alternativa (útil em provas): escrever em exponenciais para ver coeficientes explícitos.
Usando \operatorname{cosh}(2t)=\tfrac{e^{2t}+e^{-2t}}{2} e \operatorname{sinh}(2t)=\tfrac{e^{2t}-e^{-2t}}{2},
f(t)=2\operatorname{cosh}(2t)+\operatorname{sinh}(2t)=\frac{3}{2}e^{2t}+\frac{1}{2}e^{-2t}.
Ambas as formas são equivalentes; escolha a que te parece mais clara na prova.

Resposta

f(t)=2\operatorname{cosh}(2t)+\operatorname{sinh}(2t)

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