Calcule a transformada inversa de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
- Pedem a transformada inversa de Laplace da função
- Informação útil: toda expressão matemática acima será manipulada algébrica e depois aplicada a fórmulas usuais da transformada inversa de Laplace. Não há figuras nem dados adicionais.
Passo 2
Simplificar a expressão algébrica antes de inverter — isso facilita muito a vida.
Primeiro juntar as frações dentro do parêntese com denominador comum
:
Multiplicando por
obtemos cancelamento do
:
Portanto a função a inverter é
Passo 3
Lembrar as transformadas de Laplace elementares que vamos usar e como obtê-las (mini-aula prática).
- Definição (intuição rápida): a transformada de Laplace de
é . A transformada inversa devolve a partir de . - Fórmulas que usaremos (derivadas facilmente da definição ou escrevendo hiperbólicas em termos de exponenciais):
- Para
, porque e . - Para
,
- Para
- Reescrevendo estas identidades para inversão:
-
No nosso caso
porque
.
Passo 4
Separar
em termos que correspondam às transformadas conhecidas.
Escrevemos
Aplicando as inversas (com
):
- Para o primeiro termo,
- Para o segundo termo, usando
,
Somando as duas partes obtemos a função no tempo:
Passo 5
Forma alternativa (útil em provas): escrever em exponenciais para ver coeficientes explícitos.
Usando
e
,
Ambas as formas são equivalentes; escolha a que te parece mais clara na prova.