Calcule a transformada inversa de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado:
- Pede-se a transformada inversa de Laplace da função
. - Informação disponível: a expressão algébrica de
. Não há imagem nem outros dados.
Passo 2
Vamos reorganizar o denominador para uma forma mais útil (completar o quadrado). Calcule:
porque
e
.
Passo 3
Reescrevemos o numerador para aproveitar a forma
que apareceu no denominador:
Substituindo na fração obtemos
Aqui usei a propriedade básica de decomposição linear de frações (a soma/diferença no numerador separa em somas/diferenças de frações).
Passo 4
Lembrete das transformadas de Laplace mais úteis (e suas inversas). Para constantes reais
e
vale:
Explicando as variáveis:
é a variável do tempo (onde a função original vive),
é a variável da transformada,
desloca o pólo (efeito exponencial multiplicativo
) e
é a frequência das funções seno/cosseno. A transformada inversa usa exatamente essas correspondências trocando
por
se necessário (na prática: se aparece
na forma acima, a função temporal tem o fator
).
No nosso caso percebemos
no denominador e
, portanto
e
.
Passo 5
Aplicamos a inversa termo a termo (linearidade da transformada inversa):
- Para o primeiro termo
a correspondência dá
- Para o segundo termo
como
(aqui
), temos
Passo 6
Juntando os dois resultados (lembrando o sinal negativo do segundo termo) obtemos a função no tempo:
Podemos fatorar o expoente comum:
Passo 7
Verificação rápida (opcional, para ganhar confiança): aplicando a transformada de Laplace em
e usando linearidade e as fórmulas do Passo 4,
que é exatamente
. Portanto a inversa está correta.