Calcule a transformada inversa de Laplace das seguintes funções:
F(s)=\frac{s}{s^{2}+4 s+5}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado:
  • Pede-se a transformada inversa de Laplace da função \displaystyle F(s)=\frac{s}{s^{2}+4s+5}.
  • Informação disponível: a expressão algébrica de F(s). Não há imagem nem outros dados.

Passo 2

Vamos reorganizar o denominador para uma forma mais útil (completar o quadrado). Calcule:
s^{2}+4s+5=(s+2)^{2}+1,
porque (s+2)^{2}=s^{2}+4s+4 e s^{2}+4s+4+1=s^{2}+4s+5.

Passo 3

Reescrevemos o numerador para aproveitar a forma (s+2) que apareceu no denominador:
s=(s+2)-2.
Substituindo na fração obtemos
F(s)=\frac{(s+2)-2}{(s+2)^{2}+1}=\frac{s+2}{(s+2)^{2}+1}-\frac{2}{(s+2)^{2}+1}.
Aqui usei a propriedade básica de decomposição linear de frações (a soma/diferença no numerador separa em somas/diferenças de frações).

Passo 4

Lembrete das transformadas de Laplace mais úteis (e suas inversas). Para constantes reais a e b>0 vale:
\mathcal{L}\{e^{-a t}\cos(bt)\}=\frac{s+a}{(s+a)^{2}+b^{2}}, \qquad \mathcal{L}\{e^{-a t}\sin(bt)\}=\frac{b}{(s+a)^{2}+b^{2}}.
Explicando as variáveis: t é a variável do tempo (onde a função original vive), s é a variável da transformada, a desloca o pólo (efeito exponencial multiplicativo e^{-a t}) e b é a frequência das funções seno/cosseno. A transformada inversa usa exatamente essas correspondências trocando s por -a se necessário (na prática: se aparece (s+a) na forma acima, a função temporal tem o fator e^{-a t}).
No nosso caso percebemos (s+2) no denominador e b^{2}=1, portanto a=2 e b=1.

Passo 5

Aplicamos a inversa termo a termo (linearidade da transformada inversa):
  • Para o primeiro termo
\frac{s+2}{(s+2)^{2}+1}
a correspondência dá
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s+2}{(s+2)^{2}+1}\right\}=e^{-2t}\cos t.
  • Para o segundo termo
\frac{2}{(s+2)^{2}+1}=2\cdot\frac{1}{(s+2)^{2}+1},
como \mathcal{L}\{e^{-2t}\sin t\}=\dfrac{1}{(s+2)^{2}+1} (aqui b=1), temos
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{2}{(s+2)^{2}+1}\right\}=2\,e^{-2t}\sin t.

Passo 6

Juntando os dois resultados (lembrando o sinal negativo do segundo termo) obtemos a função no tempo:
f(t)=e^{-2t}\cos t-2\,e^{-2t}\sin t.
Podemos fatorar o expoente comum:
f(t)=e^{-2t}\big(\cos t-2\sin t\big),\qquad t\ge 0.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, para ganhar confiança): aplicando a transformada de Laplace em f(t) e usando linearidade e as fórmulas do Passo 4,
\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{s+2}{(s+2)^{2}+1}-2\cdot\frac{1}{(s+2)^{2}+1}=\frac{s+2-2}{(s+2)^{2}+1}=\frac{s}{s^{2}+4s+5},
que é exatamente F(s). Portanto a inversa está correta.

Resposta

f(t)=e^{-2t}\big(\cos t-2\sin t\big),\qquad t\ge 0

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