Suponha que
é diferenciável em
com
, e
é duas vezes diferenciável em
com
e
. Assuma que
é diferenciável e
é duas vezes diferenciável. Prove que
satisfaz
(a) a equação da onda
(b) as condições de contorno
(c) as condições de valores iniciais
(a) a equação da onda
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (todas as fórmulas e condições abaixo foram retiradas do enunciado):
-
é diferenciável em com . -
é duas vezes diferenciável em com e . -
é diferenciável e é duas vezes diferenciável (isto é, e ), e coincidem com em (são as extensões usadas para o problema). - A função candidata solução é
O que se pede provar:
(a) que satisfaz a equação da onda
;\newline
(b) que e
para
;\newline
(c) que e
para
.
(a) que
(b) que
(c) que
Observação sobre as extensões
: implicitamente estamos usando as extensões padrões que resolvem o problema com contorno nulo (tipicamente extensões
-periódicas com sinal alternado — isto é, extensões ímpares em torno de
e compatíveis com período
). Essas propriedades, juntamente com as hipóteses de diferenciabilidade e as condições de compatibilidade em
e
, garantem que
é
e
é
em
e que as simetrias necessárias (oddness / periodicidade) valem; usarei essas propriedades ao mostrar (b).
Passo 2
Plano de ataque (o que vou calcular e por quê):
- Para (a) vou calcular
e usando a regra da cadeia e a regra de Leibniz para derivação de integrais com limites dependentes de ; depois calculo e e comparo com . - Para (b) vou avaliar
e usando as propriedades simétricas de e (oddness combinada com -periodicidade) para mostrar que cada termo se anula. - Para (c) vou avaliar
e diretamente nas fórmulas e usar que e .
Antes de derivar: justificativa de troca de derivada e integral — como
é differentiable, a regra de Leibniz vale e as derivadas sob o sinal de integral com limites dependentes existem e são dadas pelas fórmulas padrão.
Passo 3
Cálculo de
.
Usando a regra da cadeia e a regra de Leibniz (derivada em relação a
de
):
Aqui usei que
, com
.
Passo 4
Cálculo de
.
Derivo a expressão obtida para
em
, aplicando novamente regra da cadeia:
Na derivação usei
e
.
Passo 5
Cálculo de
.
Derivo
em relação a
; novamente regra da cadeia e regra de Leibniz para limites que dependem de
:
Explicando: derivada do integral em relação a
é
, porque os limites são
.
Passo 6
Cálculo de
.
Derivando
em
:
Passo 7
Comparação para concluir (a).
Multiplicando
por
obtemos
Comparando com a expressão obtida em
(ver
Passo 8
para todos
onde as derivadas existem. Assim a parte (a) está provada.
Passo 9
Provar
(parte de (b)).
Avalio
em
:
Agora uso a propriedade das extensões
e
: são ímpares (odd) em torno de
, isto é
Com isso
. Além disso a função
é ímpar, logo a integral de
a
de uma função ímpar é zero:
Portanto
para todo
.
Passo 10
Provar
(outra parte de (b)).
Avalio
em
:
Agora uso duas propriedades das extensões
: são
-periódicas e ímpares em torno de
. Combinando periodicidade e oddness obtem-se a identidade
válida para
e
(isto decorre de
e de
ser ímpar). Assim
o que implica
. Para a integral fazemos a mudança de variável
, obtendo
Mas
, logo a função
é ímpar em
e a integral de
a
é zero. Portanto
. Assim
para todo
.
Portanto as condições de contorno de Dirichlet são satisfeitas.
Passo 11
Condições iniciais — provar (c).
Avalio
diretamente na expressão de
:
Como
coincide com
em
, segue que
Avalio
em
usando a fórmula obtida em
Passo 12
Como
coincide com
em
, segue que
Assim as condições iniciais estão satisfeitas.
Resposta
(a)
.
(b)
para
.
(c)
para
.