O que se pede: encontrar a solução u(x,t) que satisfaz a equação de onda com essas condições. Vou usar uma expansão em modos (separação de variáveis) e determinar os coeficientes pela projeção do dado inicial.
Passo 2
Escolha do método e separação de variáveis (explicando por quê).
A equação é linear, homogênea e tem condições de contorno homogêneas (uma Neumann em x=0 e uma Dirichlet em x=2). O método clássico é procurar soluções da forma separável
u(x,t)=X(x)\,T(t).
Substituindo na PDE e dividindo por X T obtém-se igualdade de uma função só de t com uma só de x, o que só é possível se ambas forem iguais a uma constante negativa -\lambda. Isso gera um problema de autovalores para X e um oscilador para T, apropriado para séries em modos normais.
Passo 3
Derivação das equações de separação.
Substitui u=X(x)T(t) em u_{tt}=9u_{xx}, divide por X T:
Estudo do problema de autovalores X''+\lambda X=0 com X'(0)=0,\\ X(2)=0.
Caso \lambda=0: X''=0 dá X(x)=ax+b. A condição X'(0)=a=0 implica X=b constante; então X(2)=b=0 e a solução é trivial X\equiv0. Logo \lambda=0 não gera modo não trivial.
Caso \lambda>0: escreva \lambda=k^{2} com k>0. A solução geral é
Esta série satisfaz as condições de contorno por construção (cada modo respeita X'_n(0)=0 e X_n(2)=0). Avaliando t=0 recupera-se u(x,0)=\sum \alpha_{n}\cos(k_{n}x)=4-x^{2} pela expansão que calculamos; derivando em t e avaliando em t=0 obtemos u_{t}(x,0)=0. A convergência é a padrão para séries de Fourier em bases ortogonais (os coeficientes decaem como 1/k_{n}^{3}, o que garante boa convergência).