Calcule a transformada inversa:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{12 s^{5}-10 s^{4}+312 s^{3}-120 s^{2}+300 s+640}{3\left(s^{2}+16\right)\left(s^{2}+25\right)(s-2)(s+2)}\right\}

Passo 1

O enunciado pede calcular a transformada inversa
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{12 s^{5}-10 s^{4}+312 s^{3}-120 s^{2}+300 s+640}{3\,(s^{2}+16)(s^{2}+25)(s-2)(s+2)}\right\}.
Informações dadas e observações importantes:
  • O numerador é 12 s^{5}-10 s^{4}+312 s^{3}-120 s^{2}+300 s+640.
  • O denominador é 3\,(s^{2}+16)(s^{2}+25)(s-2)(s+2).
  • O objetivo é encontrar a função f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\} é a expressão dada.
  • Note que os fatores do denominador são dois quadráticos irreduzíveis ( s^{2}+16, s^{2}+25) e dois pólos simples ( s-2, s+2). Isso indica que vamos fazer decomposição em frações parciais com termos do tipo \dfrac{As+B}{s^{2}+16}, \dfrac{Cs+D}{s^{2}+25} e constantes sobre s-2 e s+2.

Passo 2

Escolhemos decompor a função em frações parciais. Chamo a função dada de F(s):
F(s)=\frac{12 s^{5}-10 s^{4}+312 s^{3}-120 s^{2}+300 s+640}{3\,(s^{2}+16)(s^{2}+25)(s-2)(s+2)}.
A forma padrão da decomposição (por causa dos quadráticos e dos pólos simples) é
F(s)=\frac{As+B}{s^{2}+16}+\frac{Cs+D}{s^{2}+25}+\frac{E}{s-2}+\frac{F}{s+2},
onde A,B,C,D,E,F são constantes reais que vamos determinar. Vou explicar por quê: para cada fator linear simples usamos constante no numerador; para cada quadrático irreduzível usamos um numerador linear As+B. Isso garante que os graus do numerador sejam menores que os dos denominadores correspondentes.

Passo 3

Primeiro determinamos E e F (os coeficientes dos pólos simples) avaliando os resíduos nos pólos s=2 e s=-2. A fórmula prática é
E=\lim_{s\to2}(s-2)F(s),\qquad F=\lim_{s\to-2}(s+2)F(s).
Calculamos E:
E=\lim_{s\to2}\frac{1}{3}\,\frac{12 s^{5}-10 s^{4}+312 s^{3}-120 s^{2}+300 s+640}{(s^{2}+16)(s^{2}+25)(s+2)}.
Avalio o numerador em s=2. Calculemos passo a passo:
12\cdot2^{5}=384,\quad -10\cdot2^{4}=-160,\quad 312\cdot2^{3}=2496,
-120\cdot2^{2}=-480,\quad 300\cdot2=600,\quad +640.
Somando: 384-160+2496-480+600+640=3480. Então
E=\frac{1}{3}\cdot\frac{3480}{(2^{2}+16)(2^{2}+25)(2+2)} =\frac{1}{3}\cdot\frac{3480}{20\cdot29\cdot4}.
Simplificando:
\frac{3480}{3}=1160,\quad 20\cdot29\cdot4=2320\quad\Rightarrow\quad E=\frac{1160}{2320}=\frac{1}{2}.
Agora F:
F=\lim_{s\to-2}\frac{1}{3}\,\frac{12 s^{5}-10 s^{4}+312 s^{3}-120 s^{2}+300 s+640}{(s^{2}+16)(s^{2}+25)(s-2)}.
Avalio o numerador em s=-2. Fazendo as contas (pareadas com as de s=2) obtemos 12(-2)^5=-384, -10\cdot16=-160, 312(-8)=-2496, -120\cdot4=-480, 300(-2)=-600, +640. Somando: -384-160-2496-480-600+640=-3480. Assim
F=\frac{1}{3}\cdot\frac{-3480}{20\cdot29\cdot(-4)}=\frac{-1160}{-2320}=\frac{1}{2}.
Logo E=\dfrac{1}{2} e F=\dfrac{1}{2}.
Dica rápida: os dois termos simples somam
\frac{E}{s-2}+\frac{F}{s+2}=\frac{1/2}{s-2}+\frac{1/2}{s+2}=\frac{s}{s^{2}-4}.
Isso vai simplificar a próxima etapa.

Passo 4

Subtraímos os termos simples do F(s) para ficar só com os termos sobre os quadráticos. Definindo D_q=(s^{2}+16)(s^{2}+25),
F(s)-\frac{s}{s^{2}-4}=\frac{(1/3)N(s)}{D_q(s^{2}-4)}-\frac{s}{s^{2}-4} =\frac{(1/3)N(s)-sD_q}{D_q(s^{2}-4)}.
Por outro lado essa diferença também é
\frac{As+B}{s^{2}+16}+\frac{Cs+D}{s^{2}+25}=\frac{(As+B)(s^{2}+25)+(Cs+D)(s^{2}+16)}{D_q}.
Multiplicando ambos os lados por (s^{2}-4) obtemos a identidade polinomial
(As+B)(s^{2}+25)+(Cs+D)(s^{2}+16)=\frac{(1/3)N(s)-sD_q}{s^{2}-4}.
É mais prático calcular o polinômio do lado direito dividindo (1/3)N(s)-sD_q por s^{2}-4. Vamos calcular explicitamente D_q, sD_q e (1/3)N(s).
Calcule D_q:
D_q=(s^{2}+16)(s^{2}+25)=s^{4}+41s^{2}+400.
Então
sD_q=s^{5}+41s^{3}+400s.
Calcule (1/3)N(s):
\frac{1}{3}N(s)=4s^{5}-\frac{10}{3}s^{4}+104s^{3}-40s^{2}+100s+\frac{640}{3}.
Agora façamos (1/3)N(s)-sD_q:
(1/3)N(s)-sD_q= (4s^{5}-s^{5}) -\frac{10}{3}s^{4} + (104s^{3}-41s^{3}) -40s^{2} + (100s-400s) +\frac{640}{3}.
Isso dá
3s^{5}-\frac{10}{3}s^{4}+63s^{3}-40s^{2}-300s+\frac{640}{3}.

Passo 5

Agora dividimos o polinômio obtido por s^{2}-4. Fazendo a divisão polinomial passo a passo (long division):
Dividendo:
3s^{5}-\frac{10}{3}s^{4}+63s^{3}-40s^{2}-300s+\frac{640}{3}
Divisor:
s^{2}-4.
A divisão exata resulta no quociente
3s^{3}-\frac{10}{3}s^{2}+75s-\frac{160}{3},
sem resto. Ou seja
\frac{(1/3)N(s)-sD_q}{s^{2}-4}=3s^{3}-\frac{10}{3}s^{2}+75s-\frac{160}{3}.

Passo 6

Agora igualamos esse quociente à expansão do lado esquerdo em termos de A,B,C,D\). Expandindo \[(As+B)(s^{2}+25)+(Cs+D)(s^{2}+16)=(A+C)s^{3}+(B+D)s^{2}+(25A+16C)s+(25B+16D).
Comparando coeficientes com o quociente obtido, obtemos o sistema linear
\begin{cases} A+C=3,\\[4pt] B+D=-\dfrac{10}{3},\\[4pt] 25A+16C=75,\\[4pt] 25B+16D=-\dfrac{160}{3}. \end{cases}
Resolvendo as duas primeiras equações para A,C\]: da primeira \(C=3-A. Substituindo na terceira,
25A+16(3-A)=75 \Rightarrow 25A+48-16A=75 \Rightarrow 9A=27 \Rightarrow A=3.
Então C=3-3=0.
Agora para B,D: da segunda D=-\dfrac{10}{3}-B. Substituindo na quarta,
25B+16\left(-\frac{10}{3}-B\right)=-\frac{160}{3}\Rightarrow 25B-\frac{160}{3}-16B=-\frac{160}{3}\Rightarrow 9B=0\Rightarrow B=0.
Logo D=-\dfrac{10}{3}.
Resumo dos coeficientes obtidos:
A=3,\quad B=0,\quad C=0,\quad D=-\frac{10}{3},\quad E=\frac{1}{2},\quad F=\frac{1}{2}.]

Passo 7

Escrevemos a decomposição final de F(s):
F(s)=\frac{3s}{s^{2}+16}-\frac{10/3}{s^{2}+25}+\frac{1/2}{s-2}+\frac{1/2}{s+2}.
Agora aplicamos transformadas inversas conhecidas. Lembrando as fórmulas básicas:
\mathcal{L}\{\cos(at)\}=\frac{s}{s^{2}+a^{2}},\qquad \mathcal{L}\{\sin(at)\}=\frac{a}{s^{2}+a^{2}},\qquad \mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a}.
Use essas fórmulas para cada termo:
  • \dfrac{3s}{s^{2}+16} corresponde a 3\cos(4t) (pois a=4).
  • -\dfrac{10/3}{s^{2}+25} = -\dfrac{10}{3}\cdot\dfrac{1}{s^{2}+5^{2}}. Como \mathcal{L}\{\sin(5t)\}=5/(s^{2}+25), temos \dfrac{1}{s^{2}+25}=\dfrac{1}{5}\sin(5t). Assim este termo vira -\dfrac{10}{3}\cdot\dfrac{1}{5}\sin(5t)=-\dfrac{2}{3}\sin(5t).
  • \dfrac{1/2}{s-2} corresponde a \dfrac{1}{2}e^{2t}.
  • \dfrac{1/2}{s+2} corresponde a \dfrac{1}{2}e^{-2t}.
Somando tudo:
f(t)=3\cos(4t)-\frac{2}{3}\sin(5t)+\frac{1}{2}e^{2t}+\frac{1}{2}e^{-2t}.
Nota: os dois termos exponenciais podem ser combinados em cosseno hiperbólico:
\frac{1}{2}e^{2t}+\frac{1}{2}e^{-2t}=\operatorname{cosh}(2t).
Então uma forma mais compacta é
f(t)=3\cos(4t)-\frac{2}{3}\sin(5t)+\operatorname{cosh}(2t).

Resposta

f(t)=3\cos(4t)-\dfrac{2}{3}\sin(5t)+\operatorname{cosh}(2t)

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