O numerador é 12 s^{5}-10 s^{4}+312 s^{3}-120 s^{2}+300 s+640.
O denominador é 3\,(s^{2}+16)(s^{2}+25)(s-2)(s+2).
O objetivo é encontrar a função f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\} é a expressão dada.
Note que os fatores do denominador são dois quadráticos irreduzíveis (s^{2}+16, s^{2}+25) e dois pólos simples (s-2, s+2). Isso indica que vamos fazer decomposição em frações parciais com termos do tipo \dfrac{As+B}{s^{2}+16}, \dfrac{Cs+D}{s^{2}+25} e constantes sobre s-2 e s+2.
Passo 2
Escolhemos decompor a função em frações parciais. Chamo a função dada de F(s):
onde A,B,C,D,E,F são constantes reais que vamos determinar. Vou explicar por quê: para cada fator linear simples usamos constante no numerador; para cada quadrático irreduzível usamos um numerador linear As+B. Isso garante que os graus do numerador sejam menores que os dos denominadores correspondentes.
Passo 3
Primeiro determinamos E e F (os coeficientes dos pólos simples) avaliando os resíduos nos pólos s=2 e s=-2. A fórmula prática é
Avalio o numerador em s=-2. Fazendo as contas (pareadas com as de s=2) obtemos 12(-2)^5=-384, -10\cdot16=-160, 312(-8)=-2496, -120\cdot4=-480, 300(-2)=-600, +640. Somando: -384-160-2496-480-600+640=-3480. Assim
Agora igualamos esse quociente à expansão do lado esquerdo em termos de A,B,C,D\). Expandindo
\[(As+B)(s^{2}+25)+(Cs+D)(s^{2}+16)=(A+C)s^{3}+(B+D)s^{2}+(25A+16C)s+(25B+16D).
Comparando coeficientes com o quociente obtido, obtemos o sistema linear
\dfrac{3s}{s^{2}+16} corresponde a 3\cos(4t) (pois a=4).
-\dfrac{10/3}{s^{2}+25} = -\dfrac{10}{3}\cdot\dfrac{1}{s^{2}+5^{2}}. Como \mathcal{L}\{\sin(5t)\}=5/(s^{2}+25), temos \dfrac{1}{s^{2}+25}=\dfrac{1}{5}\sin(5t). Assim este termo vira -\dfrac{10}{3}\cdot\dfrac{1}{5}\sin(5t)=-\dfrac{2}{3}\sin(5t).
\dfrac{1/2}{s-2} corresponde a \dfrac{1}{2}e^{2t}.
\dfrac{1/2}{s+2} corresponde a \dfrac{1}{2}e^{-2t}.