Calcule a transformada inversa mathcalL^-1 de
F(s)=(s-12)(s-13)(s-1)(s-2)(s-3)

Passo 1

O enunciado pede para calcular f(t)=L^-1F(s) com
F(s)=l(s-tfrac12r)l(s-tfrac13r)(s-1)(s-2)(s-3)
O conteúdo principal é decomposição em frações parciais e uso da tabela básica L^-11/(s-a)=e^at.

Passo 2

Primeiro expandimos o numerador:
(s-tfrac12)(s-tfrac13)=s^2-l(tfrac12+tfrac13r)s+tfrac16 =s^2-tfrac56,s+tfrac16
Em seguida, escrevemos a fração como
s^2-tfrac56s+tfrac16(s-1)(s-2)(s-3) =As-1+Bs-2+Cs-3

Passo 3

Usamos o método “cover-up” para encontrar A,B,C:
  • Para s=1:
    A,(1-2)(1-3)=1^2-tfrac56cdot1+tfrac16=tfrac13,
    logo 2A=tfrac13implies A=tfrac16.
  • Para s=2:
    B,(2-1)(2-3)=2^2-tfrac56cdot2+tfrac16=tfrac52,
    logo -B=tfrac52implies B=-tfrac52.
  • Para s=3:
    C,(3-1)(3-2)=3^2-tfrac56cdot3+tfrac16=tfrac203,
    logo 2C=tfrac203implies C=tfrac103.
Assim
F(s)=1/6s-1-5/2s-2+10/3s-3

Passo 4

Aplicando L^-11/(s-a)=e^at termo a termo, obtemos
f(t)=16e^t-52e^2t+103e^3t, t>=0

Resposta

f(t)=16e^t-52e^2t+103e^3t

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