Verificar se os limites existem e, se existirem, calcular seu valor, usando aproximações indicadas:
lim substackx 0 y 0 x^2x^2+y^2
a) pelos eixos coordenados;
b) pela reta y=m x (se necessário);
c) pela parábola y=x^2 (se necessário);

Passo 1

O enunciado pede para verificar a existência de
lim(x,y)to(0,0) x^2x^2+y^2
usando aproximações por caminhos específicos: eixos coordenados ( y=0 e x=0), reta y=mx e parábola y=x^2. O conteúdo é limite de função de duas variáveis, que exige verificar se o valor é o mesmo em qualquer trajetória.

Passo 2

Pela aproximação pelos eixos.
– Ao longo do eixo x ( y=0),
x^2x^2+0^2 =x^2x^2 =1,
então o limite por esse caminho é 1.
– Ao longo do eixo y ( x=0),
0^20^2+y^2 =0,
logo o limite por esse outro caminho é 0.

Passo 3

Pela aproximação pela reta y=mx. Substituindo,
x^2x^2+(mx)^2 =x^2x^2+m^2x^2 =x^2x^2(1+m^2) =11+m^2,
que é constante em x. Portanto, o limite por esse caminho é tfrac11+m^2, que varia com m.

Passo 4

Pela aproximação pela parábola y=x^2. Substituindo,
x^2x^2+(x^2)^2 =x^2x^2+x^4 =x^2x^2(1+x^2) =11+x^2
Ao levar xto0, isso tende a 1.

Passo 5

Como obtivemos valores diferentes em diferentes caminhos — 1 pelo eixo x e pela parábola, 0 pelo eixo y, e tfrac11+m^2 pela reta y=mx — não há valor único.

Resposta

O limite não existe.

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