Utilizando funções escada u(t-a)=ua(t) calcule a transformada de Laplace de
f(t)= t, & 0 <= t<4 2, & t >= 4

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t)= t, & 0<= t<4, 2, & t>=4,
usando funções escada u(t-a)=ua(t).
Conteúdo: representação de funções por escalares e uso da propriedade de deslocamento no tempo da transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro, escrevemos f(t) em termos de u4(t)=u(t-4). Para t<4 queremos f(t)=t e para t>=4 queremos f(t)=2. Uma forma direta é
f(t)=t +l(2 - tr),u4(t)

Passo 3

Agora aplicamos a transformada de Laplace. Quebramos em duas partes:
  1. Lt=1s^2
  2. L,(2-t),u4(t).
    Definimos tau = t-4, então quando t>=4 temos
    2 - t = 2 - (tau+4) = -tau - 2,
    e
    (2-t),u4(t)=l(-tau - 2r),u(t-4)
    Pela propriedade de deslocamento no tempo,
    Lu(t-4),g(t-4) = e^-4s, Lg(tau)
    Aqui g(tau)=-tau-2, então
    Lg(tau) = - Ltau - 2, L1 = -1s^2 - 2s
    Logo
    L,(2-t),u4(t) = e^-4sl(-1s^2-2sr)

Passo 4

Somando as duas partes,
Lf(t) =1s^2 +e^-4sl(-1s^2-2sr) =1s^2 - e^-4sl(1s^2+2sr)

Resposta

boxed Lf(t) =1s^2 - e^-4sl(1s^2+2sr)

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