Calcule a transformada de Laplace de:
f(t)=e^2 t+7

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a transformada de Laplace da função f(t) = e^2t + 7 . Isso vai nos levar a usar conceitos de transformada de Laplace, que é uma ferramenta super útil na resolução de equações diferenciais e no estudo de sistemas dinâmicos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão de f(t) . Observamos que e^2t + 7 pode ser reescrita como e^2t cdot e^7 . Isso é válido porque e^a + b = e^a cdot e^b .
Então, temos:
f(t) = e^2t cdot e^7

Passo 3

Agora, vamos lembrar da definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função f(t) é dada por:
Lf(t) = integral0^infty e^-st f(t) , dt
onde s é uma variável complexa.

Passo 4

No nosso caso, já que f(t) = e^7 cdot e^2t , e e^7 é uma constante, podemos tirá-la de fora da integral:
Lf(t) = e^7 cdot Le^2t

Passo 5

Agora, precisamos calcular Le^2t . Sabemos que a transformada de Laplace de e^at é:
Le^at = 1s - a, para s > a
Neste caso, a = 2 , então:
Le^2t = 1s - 2

Passo 6

Substituindo isso de volta na expressão anterior:
Lf(t) = e^7 cdot 1s - 2

Resposta

A transformada de Laplace de f(t) = e^2t + 7 é:
Lf(t) = e^7s - 2

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