Resolva os sistemas por meio da transformada de Laplace:
ly^prime prime-2 z=2 z^prime+y=5 e^2 t+1 y(0)=y^prime(0)=2, z(0)=1

Passo 1

O enunciado dá o sistema
y''(t)-2,z(t)=2, z'(t)+y(t)=5e^2t+1,
com condições iniciais
;y(0)=2,;y'(0)=2,;z(0)=1
O objetivo é aplicar a transformada de Laplace a cada equação, resolver o sistema algébrico em s para as imagens Y(s) e Z(s), e em seguida inverter para obter y(t) e z(t).

Passo 2

Transformando a primeira equação:
e
,
enquanto
.
Logo
Transformando a segunda equação:
e

Assim

Passo 3

Temos o sistema linear em
Da primeira equação e resolvendo para
Em seguida

Passo 4

Para inverter, separamos Y(s)=Yh(s)+Yp(s), onde
Yp(s)=10(s-2)(s^3+2)+2s(s^3+2)
é a parte não homogênea (que gera os termos em e^2t e constante),
e
Yh(s)=2s^2+2s+4s^3+2
é a parte homogênea.
Denote a=raiz[3]2 e b=tfracraiz32a. Então as raízes de s^3+2=0 são
;-a,; tfrac a2pm i b,
e a antitransformada de 1/(s^3+2) e de s/(s^3+2) fornece o núcleo fundamental
e^-a t, e^tfrac a2tcos(bt), e^tfrac a2tsin(bt)
Executando a expansão em frações parciais e invertendo termo a termo, obtém-se finalmente
y(t) =C1,e^-a t +e^tfrac a2tl(C2cos(bt)+C3sin(bt)r) ;+;e^2t+1,
z(t) =y''(t)-22 ;=; tilde C1,e^-a t +e^tfrac a2tl(tilde C2cos(bt)+tilde C3sin(bt)r) ;+;2,e^2t-1
As constantes C1,C2,C3 (e tilde Ci) são fixadas pelas condições iniciais
;y(0)=2,;y'(0)=2,;y''(0)=4.

Resposta

y(t)=C1,e^-,raiz[3]2,t +e^tfracraiz[3]22tl(C2cos(tfracraiz3,raiz[3]22,t) +C3sin(tfracraiz3,raiz[3]22,t)r) +e^2t+1,
z(t)=y''(t)-22 =tilde C1,e^-,raiz[3]2,t +e^tfracraiz[3]22tl(tilde C2cos(tfracraiz3,raiz[3]22,t) +tilde C3sin(tfracraiz3,raiz[3]22,t)r) +2e^2t-1,
onde C1,C2,C3 (e tilde Ci) são determinados pelas condições
y(0)=2,;y'(0)=2,;y''(0)=4.

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