Resolva os sistemas por meio da transformada de Laplace:
Passo 1
O enunciado dá o sistema
y''(t)-2,z(t)=2, z'(t)+y(t)=5e^2t+1,
com condições iniciais ;y(0)=2,;y'(0)=2,;z(0)=1
O objetivo é aplicar a transformada de Laplace a cada equação, resolver o sistema algébrico em s para as imagens Y(s) e Z(s), e em seguida inverter para obter y(t) e z(t).
Passo 2
Transformando a primeira equação:
e
,
enquanto
.
Logo
Transformando a segunda equação:
e
Assim
Passo 3
Temos o sistema linear em
Da primeira equação e resolvendo para dá
Em seguida
Passo 4
Para inverter, separamos Y(s)=Yh(s)+Yp(s), onde
Yp(s)=10(s-2)(s^3+2)+2s(s^3+2)
é a parte não homogênea (que gera os termos em e^2t e constante),
e
Yh(s)=2s^2+2s+4s^3+2
é a parte homogênea.
Denote a=raiz[3]2 e b=tfracraiz32a. Então as raízes de s^3+2=0 são ;-a,; tfrac a2pm i b,
e a antitransformada de 1/(s^3+2) e de s/(s^3+2) fornece o núcleo fundamental
e^-a t, e^tfrac a2tcos(bt), e^tfrac a2tsin(bt)
Executando a expansão em frações parciais e invertendo termo a termo, obtém-se finalmente
y(t) =C1,e^-a t +e^tfrac a2tl(C2cos(bt)+C3sin(bt)r) ;+;e^2t+1,