Observação. Justifique com cálculos suas respostas.
Questão 1. (2.0) Calcule o gradiente das seguintes funções:
f(x, y)=x^2 y^2 ln (1+x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o gradiente de
f(x,y) = x^2y^2lnl(1 + x^2 + y^2r)
O conteúdo usado será derivação parcial em funções de duas variáveis, aplicando regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Definimos
u(x,y) = x^2y^2, v(x,y) = lnl(1 + x^2 + y^2r)
Calculamos as derivadas parciais de u:
partial upartial x = 2x,y^2, partial upartial y = 2y,x^2

Passo 3

Para v, seja w = 1 + x^2 + y^2. Então v = ln w e
partial vpartial x = 1w,partial wpartial x = 2x1 + x^2 + y^2, partial vpartial y = 2y1 + x^2 + y^2

Passo 4

Pela regra do produto,
partial fpartial x = partial upartial x,v + u,partial vpartial x = 2x y^2 lnl(1 + x^2 + y^2r) + x^2 y^2 ,2x1 + x^2 + y^2
Fatorando 2x y^2, obtemos
partial fpartial x = 2x,y^2l[lnl(1 + x^2 + y^2r) + x^21 + x^2 + y^2r]

Passo 5

De modo análogo,
partial fpartial y = 2y,x^2 lnl(1 + x^2 + y^2r) + x^2 y^2 ,2y1 + x^2 + y^2 = 2y,x^2l[lnl(1 + x^2 + y^2r) + y^21 + x^2 + y^2r]

Resposta

nabla f(x,y) = l( 2x,y^2l[lnl(1 + x^2 + y^2r) + tfracx^21 + x^2 + y^2r] ;,; 2y,x^2l[lnl(1 + x^2 + y^2r) + tfracy^21 + x^2 + y^2r] r)

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