Resolva os sistemas por meio da transformada de Laplace:
ly^prime+z+w=1 z^prime-y+w=2 sen t w^prime-y=0 w(0)=1, y(0)=1, z(0)=1

Passo 1

O enunciado dá o sistema
y'(t) + z(t) + w(t) = 1, z'(t) - y(t) + w(t) = 2sin t, w'(t) - y(t) = 0,
com condições iniciais
w(0)=1, y(0)=1, z(0)=1
O conteúdo é resolução de sistemas de EDOs lineares pelo método da transformada de Laplace. Vamos tomar as transformadas
Ly=Y(s), Lz=Z(s), Lw=W(s) e usar as fórmulas
Ly'=sY(s)-y(0), Lsin t=1/(s^2+1), etc.

Passo 2

Aplicando a Laplace em cada equação e usando y(0)=z(0)=w(0)=1 e L1=1/s, L2sin t=2/(s^2+1), obtemos o sistema algébrico
sY(s)-1 ;+; Z(s);+;W(s);=;dfrac1s, sZ(s)-1 ;-; Y(s);+;W(s);=;dfrac2s^2+1, sW(s)-1 ;-; Y(s);=;0
Reescrevendo em forma padrão,
sY + Z + W = 1+dfrac1s, -,Y + sZ + W = 1+dfrac2s^2+1, -,Y + sW = 1

Passo 3

Da terceira equação isolamos
Y(s)=sW(s)-1
Substituindo em 1ª e 2ª equações, reduzimos a um sistema em Z(s) e W(s). Resolvendo esse sistema vemos que
W(s)=s^4 + s^3 +2s^2 + s -1(s^2+1),(s^3+2s-1),
e então
Y(s)=s,W(s)-1, Z(s)=1+1s -,W(s);(s^2+1)

Passo 4

Para inverter a transformada, note que o fator s^3+2s-1 é o polinómio característico da parte homogénea e s^2+1 vem do forçamento trigonométrico. Ao fazer a decomposição em frações parciais, obtemos que os termos associados às raízes de s^3+2s-1 têm coeficientes iguais a zero (porque as condições iniciais “encaixam” exatamente na parte particular). Assim só sobra a parte particular de resposta, de forma que
w(t)=sin t + cos t
Então
y(t)=w'(t)=cos t - sin t,
e da primeira equação do sistema original,
z(t)=1 - w(t) - y'(t) =1 -(sin t+cos t)-(-sin t-cos t)=1

Resposta

boxed y(t)=cos t - sin t, z(t)=1, w(t)=sin t + cos t

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