O conteúdo é resolução de sistemas de EDOs lineares pelo método da transformada de Laplace. Vamos tomar as transformadas Ly=Y(s), Lz=Z(s), Lw=W(s) e usar as fórmulas Ly'=sY(s)-y(0), Lsin t=1/(s^2+1), etc.
Passo 2
Aplicando a Laplace em cada equação e usando y(0)=z(0)=w(0)=1 e L1=1/s, L2sin t=2/(s^2+1), obtemos o sistema algébrico
sY + Z + W = 1+dfrac1s, -,Y + sZ + W = 1+dfrac2s^2+1, -,Y + sW = 1
Passo 3
Da terceira equação isolamos
Y(s)=sW(s)-1
Substituindo em 1ª e 2ª equações, reduzimos a um sistema em Z(s) e W(s). Resolvendo esse sistema vemos que
W(s)=s^4 + s^3 +2s^2 + s -1(s^2+1),(s^3+2s-1),
e então
Y(s)=s,W(s)-1, Z(s)=1+1s -,W(s);(s^2+1)
Passo 4
Para inverter a transformada, note que o fator s^3+2s-1 é o polinómio característico da parte homogénea e s^2+1 vem do forçamento trigonométrico. Ao fazer a decomposição em frações parciais, obtemos que os termos associados às raízes de s^3+2s-1 têm coeficientes iguais a zero (porque as condições iniciais “encaixam” exatamente na parte particular). Assim só sobra a parte particular de resposta, de forma que