Calcule a transformada de Laplace:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a transformada de Laplace dessa função. Informação adicional que vamos usar sem perguntar: a transformada de Laplace é definida para
e vamos indicar a variável complexa
onde a transformada é uma função
.
Passo 2
Definição da transformada de Laplace (aula rápida e calma). A transformada de Laplace de uma função
é a integral
onde
é um número complexo (normalmente escrito
). A integral só existe (converge) para valores de
tais que a exponencial
faça a integral impropria convergir; para funções exponenciais e senos isso dará condições simples de convergência que veremos nos passos.
Passo 3
Linearidade (ferramenta essencial). A transformada de Laplace é linear, isto é:
para constantes
. Aplicando ao nosso
obtemos
Então basta calcular as transformadas de
e de
separadamente.
Passo 4
Transformada de
(passo a passo). Calcule
Usamos a integral impropria básica
desde que
. Aqui
, portanto a integral vale
com condição de convergência
, isto é
.
Passo 5
Transformada de
(derivação didática usando exponencial complexa). Uma maneira elegante é usar que
. Então
Usando novamente
para
, com
, obtemos
Agora extraímos a parte imaginária dessa fração. Escrevendo
a parte imaginária é
. Portanto
com condição de convergência
(porque precisamos que
).
Passo 6
Juntando resultados (montando a resposta). Usando os resultados dos passos anteriores:
Fazendo as multiplicações:
A região de convergência é a interseção das condições que obtivemos:
e
, isto é
.