Calcule a transformada de Laplace:
f(t)=5 e^{-2 t}-3 \sin (4 t)

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(t)=5 e^{-2 t}-3 \sin(4 t)\, e pede para calcular a transformada de Laplace dessa função. Informação adicional que vamos usar sem perguntar: a transformada de Laplace é definida para t\ge 0 e vamos indicar a variável complexa s onde a transformada é uma função F(s).

Passo 2

Definição da transformada de Laplace (aula rápida e calma). A transformada de Laplace de uma função f(t) é a integral
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,f(t)\,dt,
onde s é um número complexo (normalmente escrito s=\sigma+i\omega). A integral só existe (converge) para valores de s tais que a exponencial e^{-st} faça a integral impropria convergir; para funções exponenciais e senos isso dará condições simples de convergência que veremos nos passos.

Passo 3

Linearidade (ferramenta essencial). A transformada de Laplace é linear, isto é:
\mathcal{L}\{a\,g(t)+b\,h(t)\}(s)=a\,\mathcal{L}\{g(t)\}(s)+b\,\mathcal{L}\{h(t)\}(s),
para constantes a,b. Aplicando ao nosso f(t) obtemos
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=5\,\mathcal{L}\{e^{-2t}\}(s)-3\,\mathcal{L}\{\sin(4t)\}(s).
Então basta calcular as transformadas de \,e^{-2t}\, e de \,\sin(4t)\, separadamente.

Passo 4

Transformada de \,e^{-2t}\, (passo a passo). Calcule
\mathcal{L}\{e^{-2t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} e^{-2t}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s+2)t}\,dt.
Usamos a integral impropria básica \displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-\alpha t}\,dt=\frac{1}{\alpha} desde que \operatorname{Re}(\alpha)>0. Aqui \alpha=s+2, portanto a integral vale
\mathcal{L}\{e^{-2t}\}(s)=\frac{1}{s+2},
com condição de convergência \operatorname{Re}(s+2)>0, isto é \operatorname{Re}(s)>-2.

Passo 5

Transformada de \,\sin(4t)\, (derivação didática usando exponencial complexa). Uma maneira elegante é usar que \sin(4t)=\operatorname{Im}\big(e^{i4t}\big). Então
\mathcal{L}\{\sin(4t)\}(s)=\operatorname{Im}\!\left(\int_{0}^{\infty} e^{-st} e^{i4t}\,dt\right) =\operatorname{Im}\!\left(\int_{0}^{\infty} e^{-(s-i4)t}\,dt\right).
Usando novamente \displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-\alpha t}\,dt=\frac{1}{\alpha} para \operatorname{Re}(\alpha)>0, com \alpha=s-i4, obtemos
\int_{0}^{\infty} e^{-(s-i4)t}\,dt=\frac{1}{s-i4}.
Agora extraímos a parte imaginária dessa fração. Escrevendo
\frac{1}{s-i4}=\frac{s+i4}{s^{2}+4^{2}}=\frac{s+i4}{s^{2}+16},
a parte imaginária é \dfrac{4}{s^{2}+16}. Portanto
\mathcal{L}\{\sin(4t)\}(s)=\frac{4}{s^{2}+16},
com condição de convergência \operatorname{Re}(s)>0 (porque precisamos que \operatorname{Re}(s-i4)=\operatorname{Re}(s)>0).

Passo 6

Juntando resultados (montando a resposta). Usando os resultados dos passos anteriores:
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=5\cdot\frac{1}{s+2}-3\cdot\frac{4}{s^{2}+16}.
Fazendo as multiplicações:
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\frac{5}{s+2}-\frac{12}{s^{2}+16}.
A região de convergência é a interseção das condições que obtivemos: \operatorname{Re}(s)>-2 e \operatorname{Re}(s)>0, isto é \operatorname{Re}(s)>0.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{5 e^{-2 t}-3 \sin(4 t)\}(s)=\frac{5}{s+2}-\frac{12}{s^{2}+16},\quad \operatorname{Re}(s)>0

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