Calcule as transformadas inversas de Laplace
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s}{s^{2}+2 s-3}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função
\frac{s}{s^{2}+2s-3}.
Ou seja, encontrar f(t) tal que
\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{s}{s^{2}+2s-3}.
Informações dadas: o numerador é s e o denominador é um polinômio quadrático s^{2}+2s-3. A tarefa é decompor essa expressão em termos cujas transformadas inversas sejam conhecidas e, então, aplicar a tabela básica de transformadas.

Passo 2

Estratégia (por que funciona): a técnica mais direta aqui é decompor a fração em frações parciais simples porque a transformada de Laplace clássica nos dá pares simples:
\mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a}, \qquad\text{logo}\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{at}.
Assim, se escrevermos a função dada como soma de termos da forma \dfrac{C}{s-a}, podemos inverter cada termo facilmente.

Passo 3

Primeiro fatoramos o denominador:
s^{2}+2s-3=(s+3)(s-1).
Portanto a função pode ser escrita como
\frac{s}{s^{2}+2s-3}=\frac{s}{(s+3)(s-1)}.

Passo 4

Agora fazemos a decomposição em frações parciais. Procuramos constantes A e B tais que
\frac{s}{(s+3)(s-1)}=\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s+3}.
Multiplicando ambos os lados por (s+3)(s-1) obtemos a identidade (para todo s):
s = A(s+3)+B(s-1).

Passo 5

Expandindo o lado direito e agrupando termos em s\) e termos constantes: \[s = (A+B)s + (3A - B).
Igualando coeficientes de s e os termos constantes obtemos o sistema:
\begin{cases} A+B=1,\\[4pt] 3A-B=0. \end{cases}
Da segunda equação vem (B=3A]. Substituindo na primeira:
A+3A=1 \quad\Rightarrow\quad 4A=1 \quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{1}{4}.
Então
B=3A= \tfrac{3}{4}.]

Passo 6

Substituindo A e B na decomposição temos
\frac{s}{(s+3)(s-1)}=\frac{1/4}{s-1}+\frac{3/4}{s+3}.
Aplicando a transformada inversa termo a termo, usando \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s-a}\right\}=e^{at}, e lembrando que \dfrac{1}{s+3}=\dfrac{1}{s-(-3)}, obtemos
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1/4}{s-1}\right\}=\tfrac{1}{4}e^{t}, \qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{3/4}{s+3}\right\}=\tfrac{3}{4}e^{-3t}.

Passo 7

Somando os dois termos inversos, a função tempo correspondente é
f(t)=\tfrac{1}{4}e^{t}+\tfrac{3}{4}e^{-3t},\qquad t\ge 0.

Resposta

\tfrac{1}{4}e^{t}+\tfrac{3}{4}e^{-3t}

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