Calcule as transformadas inversas de Laplace
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função
Ou seja, encontrar
tal que
Informações dadas: o numerador é
e o denominador é um polinômio quadrático
. A tarefa é decompor essa expressão em termos cujas transformadas inversas sejam conhecidas e, então, aplicar a tabela básica de transformadas.
Passo 2
Estratégia (por que funciona): a técnica mais direta aqui é decompor a fração em frações parciais simples porque a transformada de Laplace clássica nos dá pares simples:
Assim, se escrevermos a função dada como soma de termos da forma
, podemos inverter cada termo facilmente.
Passo 3
Primeiro fatoramos o denominador:
Portanto a função pode ser escrita como
Passo 4
Agora fazemos a decomposição em frações parciais. Procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade (para todo
):
Passo 5
Expandindo o lado direito e agrupando termos em
Igualando coeficientes de
e os termos constantes obtemos o sistema:
Da segunda equação vem (B=3A]. Substituindo na primeira:
Então
]
Então
Passo 6
Substituindo
e
na decomposição temos
Aplicando a transformada inversa termo a termo, usando
, e lembrando que
, obtemos
Passo 7
Somando os dois termos inversos, a função tempo correspondente é