Calcule as transformadas inversas de Laplace
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s+1}{s^{2}+4 s+5}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função racional dada. Os dados são:
  • Função no domínio de s: \displaystyle \frac{s+1}{s^{2}+4 s+5}.
    O que se pede:
  • Calcular \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{s+1}{s^{2}+4 s+5}\right\}, isto é, encontrar a função f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=\dfrac{s+1}{s^{2}+4 s+5} (assumindo t\ge0).

Passo 2

Primeiro passo algébrico: simplificar o denominador completando o quadrado para reconhecer formas padrão. Faço:
s^{2}+4s+5 = (s^{2}+4s+4)+1 = (s+2)^{2}+1.

Passo 3

Reescrevo o numerador de modo a separar termos que combinam com a forma (s+2) que apareceu no denominador:
s+1 = (s+2)-1.
Substituindo na fração:
\frac{s+1}{s^{2}+4s+5} = \frac{(s+2)-1}{(s+2)^{2}+1} = \frac{s+2}{(s+2)^{2}+1} \;-\; \frac{1}{(s+2)^{2}+1}.

Passo 4

Explico as propriedades de transformada de Laplace que usarei (aqui é a parte didática):
  • Linearidade: \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\{F(s)+G(s)\}=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}+\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\} e constantes saem da transformada inversa.
  • Deslocamento em s (fator exponencial em t): as fórmulas padrão são
\mathcal{L}\{e^{-a t}\cos(bt)\}=\frac{s+a}{(s+a)^{2}+b^{2}}, \qquad \mathcal{L}\{e^{-a t}\sin(bt)\}=\frac{b}{(s+a)^{2}+b^{2}},
onde a e b são constantes (aqui a corresponde ao deslocamento em s e b é a frequência do seno/ cosseno). Essas fórmulas significam:
  • Se no numerador aparece (s+a) e no denominador (s+a)^{2}+b^{2}, a transformada inversa é e^{-a t}\cos(bt).
  • Se no numerador aparece b e no denominador (s+a)^{2}+b^{2}, a transformada inversa é e^{-a t}\sin(bt).

Passo 5

Aplicando as fórmulas aos dois termos obtidos em \displaystyle \frac{s+2}{(s+2)^{2}+1} e \displaystyle \frac{1}{(s+2)^{2}+1}:
  • Para o primeiro termo, comparando com \dfrac{s+a}{(s+a)^{2}+b^{2}}, temos a=2 e b=1. Logo
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s+2}{(s+2)^{2}+1}\right\}=e^{-2t}\cos t.
  • Para o segundo termo, note que \dfrac{1}{(s+2)^{2}+1} tem b=1 no numerador desejado para seno. Como \mathcal{L}\{e^{-2t}\sin t\}=\dfrac{1}{(s+2)^{2}+1}, segue
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+2)^{2}+1}\right\}=e^{-2t}\sin t.
Lembrando o sinal negativo do segundo termo, ao combinar:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s+1}{s^{2}+4s+5}\right\} = e^{-2t}\cos t \;-\; e^{-2t}\sin t.

Passo 6

Fatorando e^{-2t} para uma forma mais compacta:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s+1}{s^{2}+4s+5}\right\} = e^{-2t}\bigl(\cos t - \sin t\bigr), \qquad t\ge0.

Resposta

\displaystyle e^{-2t}\bigl(\cos t - \sin t\bigr)

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