Calcule as transformadas inversas de Laplace
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função racional dada. Os dados são:
- Função no domínio de
: .
O que se pede: - Calcular
, isto é, encontrar a função tal que (assumindo ).
Passo 2
Primeiro passo algébrico: simplificar o denominador completando o quadrado para reconhecer formas padrão. Faço:
Passo 3
Reescrevo o numerador de modo a separar termos que combinam com a forma
que apareceu no denominador:
Substituindo na fração:
Passo 4
Explico as propriedades de transformada de Laplace que usarei (aqui é a parte didática):
- Linearidade:
e constantes saem da transformada inversa. - Deslocamento em
(fator exponencial em ): as fórmulas padrão são
onde
e
são constantes (aqui
corresponde ao deslocamento em
e
é a frequência do seno/ cosseno). Essas fórmulas significam:
- Se no numerador aparece
e no denominador , a transformada inversa é . - Se no numerador aparece
e no denominador , a transformada inversa é .
Passo 5
Aplicando as fórmulas aos dois termos obtidos em
e
:
- Para o primeiro termo, comparando com
, temos e . Logo
- Para o segundo termo, note que
tem no numerador desejado para seno. Como , segue
Lembrando o sinal negativo do segundo termo, ao combinar:
Passo 6
Fatorando
para uma forma mais compacta: