Calcule a transformada de Laplace de cada uma das funções abaixo:
f(t)=e^2 x(cosh (3 x)+2 sinh (3 x))

Passo 1

A questão pede para calcular a transformada de Laplace de e f(t)=e^2tl(cosh(3t)+2sinh(3t)r) O conteúdo envolve a definição da transformada de Laplace e o uso de tabelas de transformadas para funções do tipo (e^atcosh(bt).

Passo 2

Como f(t) é soma de duas parcelas, usamos a linearidade: escrevemos
f(t)=e^2tcosh(3t)+2,e^2tsinh(3t)
e, portanto,
Lf(t)=Le^2tcosh(3t)+2,Le^2tsinh(3t)

Passo 3

Lembrando as fórmulas da tabela:
Le^atcosh(bt)=s-a(s-a)^2-b^2,
Le^atsinh(bt)=b(s-a)^2-b^2,

Passo 4

agora basta identificar a=2 e b=3 em cada parcela.
Para e^2tcosh(3t) temos
Le^2tcosh(3t)=s-2(s-2)^2-3^2=s-2(s-2)^2-9,

Passo 5

e para e^2tsinh(3t)
Le^2tsinh(3t)=3(s-2)^2-9

Passo 6

Somando com o fator 2 da segunda parcela:
Lf(t)=s-2(s-2)^2-9+2cdot3(s-2)^2-9=s-2+6(s-2)^2-9=s+4(s-2)^2-9

Passo 7

Por fim, note que
(s-2)^2-9=s^2-4s+4-9=s^2-4s-5,
de modo que a forma simplificada é
Lf(t)=s+4s^2-4s-5,Re(s)>5

Resposta

s+4s^2-4s-5, Re(s)>5

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