Nos exercícios a seguir calcule partial zpartial u, partial zpartial v
z=sin 2 x cos 3 y, x=(u+v)^2, y=(u-v)^2

Passo 1

Temos a função composta z=sin(2x)·cos(3y) com x=(u+v)² e y=(u−v)². O conteúdo é derivada parcial e vamos precisar usar a regra da cadeia: calcular ∂z/∂x, ∂z/∂y, ∂x/∂u, ∂x/∂v, ∂y/∂u e ∂y/∂v.

Passo 2

Derivando z em relação a x e a y usando derivadas de funções trigonométricas:
partial zpartial x=2cos(2x)cos(3y), partial zpartial y=-3sin(2x)sin(3y)

Passo 3

Derivando x=(u+v)² e y=(u−v)² em relação a u e v:
partial xpartial u=2(u+v), partial xpartial v=2(u+v),
partial ypartial u=2(u-v), partial ypartial v=-2(u-v)

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para ∂z/∂u e ∂z/∂v:
partial zpartial u=partial zpartial xpartial xpartial u+partial zpartial ypartial ypartial u,
partial zpartial v=partial zpartial xpartial xpartial v+partial zpartial ypartial ypartial v

Passo 5

Substituindo todas as derivadas e reescrevendo em termos de u e v:
partial zpartial u=4(u+v)cosl(2(u+v)^2r)cosl(3(u-v)^2r)-6(u-v)sinl(2(u+v)^2r)sinl(3(u-v)^2r),
partial zpartial v=4(u+v)cosl(2(u+v)^2r)cosl(3(u-v)^2r)+6(u-v)sinl(2(u+v)^2r)sinl(3(u-v)^2r)

Resposta

partial zpartial u=4(u+v)cosl(2(u+v)^2r)cosl(3(u-v)^2r)-6(u-v)sinl(2(u+v)^2r)sinl(3(u-v)^2r),
partial zpartial v=4(u+v)cosl(2(u+v)^2r)cosl(3(u-v)^2r)+6(u-v)sinl(2(u+v)^2r)sinl(3(u-v)^2r)

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