Nos exercícios a seguir calcule partial zpartial u, partial zpartial v
z=x e^y+y e^-x, x=ln u, y=v ln u

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais partial zpartial u e partial zpartial v, onde
z depende de x e y, e x e y são funções de u e v. O conteúdo a usar é a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de z em relação às variáveis intermediárias x e y. Temos
z(x,y)=x e^y+y e^-x
Logo,
partial zpartial x=e^y -y e^-x,
partial zpartial y=x e^y +e^-x

Passo 3

Em seguida, derivamos as funções de x e y em relação a u e v. Como
x=ln u, y=vln u,
temos
partial xpartial u=1u, partial xpartial v=0,
partial ypartial u=vcdot1u= v u, partial ypartial v=ln u

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia para partial zpartial u:
partial zpartial u=partial zpartial xpartial xpartial u+partial zpartial ypartial ypartial u
Substituindo,
partial zpartial u=(e^y -y e^-x)1u+(x e^y +e^-x) v u
e agrupando termos:
partial zpartial u=1ul(e^y -y e^-x+v x e^y+v e^-xr)

Passo 5

Finalmente, para partial zpartial v usamos
partial zpartial v=partial zpartial xpartial xpartial v+partial zpartial ypartial ypartial v
Como partial xpartial v=0, resta
partial zpartial v=(x e^y+e^-x)ln u

Resposta

partial zpartial u=1ul(e^y -y e^-x+v x e^y+v e^-xr), x=ln u, y=vln u,
partial zpartial v=(x e^y+e^-x)ln u, x=ln u, y=vln u

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