Calcule a transformada de Laplace de cada uma das funções abaixo:
f(t)= sen t & , se 0= 2 pi

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a transformada de Laplace de Laplace de uma função por partes, ou seja, ela vale sin t de 0 a 2pi e sin t + cos t para t >= 2pi. Vamos usar a definição de transformada de Laplace e a propriedade de deslocamento na origem (função escalonada).

Passo 2

Primeiro reescrevo Lf(t) = integral0^infty f(t)e^-st ,dt como duas integrais:
$$\mathcal{L}{f(t)} = \int_0^{2\pi} \sin t,e^{-st} ,dt ;+
\int_{2\pi}^{\infty} (\sin t + \cos t),e^{-st} ,dt.$$

Passo 3

Para a segunda integral, noto que de t=2pi em diante a parte que entra é a mesma de sin t+cos t. Posso usar a propriedade
integrala^infty g(t)e^-stdt = e^-as integral0^infty g(t+a)e^-stdt. Como sin(t+2pi)=sin t e cos(t+2pi)=cos t, temos
$$\int_{2\pi}^{\infty} (\sin t + \cos t)e^{-st}dt = e^{-2\pi s} \int_0^{\infty} (\sin t + \cos t)e^{-st}dt.
$$

Passo 4

Agora calculo cada parte separadamente. Primeiro
I = integral0^2pi sin t,e^-stdt. Existe a fórmula conhecida
$$\int_0^a e^{-st}\sin t,dt = \frac{1 - e^{-as}(s\sin a + \cos a)}{s^2 + 1}.
$$ Aqui integral0^a e^-stsin t,dt = 1 - e^-as(ssin a + cos a)s^2 + 1 , a=2pi, sin(2pi)=0. Logo
$$I = \frac{1 - e^{-2\pi s}\cdot1}{s^2+1} = \frac{1 - e^{-2\pi s}}{s^2+1}.
$$

Passo 5

Em seguida, a transformada de sin t + cos t é a soma das transformadas:
Lsin t = 1s^2+1, Lcos t = ss^2+1 Então
$$\int_0^{\infty}(\sin t + \cos t)e^{-st}dt = \frac{1}{s^2+1} + \frac{s}{s^2+1} = \frac{s+1}{s^2+1}.
$$

Passo 6

Juntando tudo:
Lf(t) = I + e^-2pi scdot s+1s^2+1 = 1 - e^-2pi ss^2+1 + (s+1)e^-2pi ss^2+1

Passo 7

Fatorando o denominador e coletando termos no numerador:
Lf(t) = 1 - e^-2pi s + (s+1)e^-2pi ss^2+1 = 1 + s,e^-2pi ss^2+1

Resposta

Lf(t) = 1 + s,e^-2pi ss^2 + 1

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