Calcule a transformada de Laplace de cada uma das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede pra calcular a transformada de Laplace de Laplace de uma função por partes, ou seja, ela vale
de 0 a
e
para
. Vamos usar a definição de transformada de Laplace e a propriedade de deslocamento na origem (função escalonada).
Passo 2
Primeiro reescrevo
como duas integrais:
$$\mathcal{L}{f(t)} = \int_0^{2\pi} \sin t,e^{-st} ,dt ;+
\int_{2\pi}^{\infty} (\sin t + \cos t),e^{-st} ,dt.$$
Passo 3
Para a segunda integral, noto que de
em diante a parte que entra é a mesma de
. Posso usar a propriedade
. Como
e
, temos
$$\int_{2\pi}^{\infty} (\sin t + \cos t)e^{-st}dt = e^{-2\pi s} \int_0^{\infty} (\sin t + \cos t)e^{-st}dt.
$$
Passo 4
Agora calculo cada parte separadamente. Primeiro
. Existe a fórmula conhecida
$$\int_0^a e^{-st}\sin t,dt = \frac{1 - e^{-as}(s\sin a + \cos a)}{s^2 + 1}.
$$ Aqui
,
,
. Logo
$$I = \frac{1 - e^{-2\pi s}\cdot1}{s^2+1} = \frac{1 - e^{-2\pi s}}{s^2+1}.
$$
Passo 5
Em seguida, a transformada de
é a soma das transformadas:
$$\int_0^{\infty}(\sin t + \cos t)e^{-st}dt = \frac{1}{s^2+1} + \frac{s}{s^2+1} = \frac{s+1}{s^2+1}.
$$
Passo 6
Juntando tudo:
Passo 7
Fatorando o denominador e coletando termos no numerador: