Nos exercícios a seguir use a regra da cadeia para calcular d zd t, d wd t
w=raizx^2+y^2+z^2, x=e^t, y=e^-t, z=2 t

Passo 1

A questão pede para achar dzdt e dwdt sabendo que w=raizx^2+y^2+z^2, com x=e^t, y=e^-t e z=2t. O conteúdo aqui é a regra da cadeia para funções de várias variáveis: vamos derivar z diretamente e w(x,y,z) usando derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, derivamos z=2t em relação a t. Como é uma função linear,
dzdt=2

Passo 3

Para w(x,y,z), a regra da cadeia multivariada diz:
dwdt=partial wpartial xdxdt+partial wpartial ydydt+partial wpartial zdzdt

Passo 4

Como w=(x^2+y^2+z^2)^1/2, as derivadas parciais são:
partial wpartial x=xw,partial wpartial y=yw,partial wpartial z=zw

Passo 5

Agora calculamos as derivadas de x, y e já temos de z:
dxdt=e^t,dydt=-e^-t,dzdt=2

Passo 6

Substituindo tudo em dwdt=x,dx/dt+y,dy/dt+z,dz/dtw e usando w=raizx^2+y^2+z^2,
dwdt=e^tcdot e^t+e^-tcdot(-e^-t)+2tcdot2raize^2t+e^-2t+4t^2

Passo 7

Agora simplificamos o numerador: e^tcdot e^t=e^2t, e^-tcdot(-e^-t)=-e^-2t e 2tcdot2=4t. Então
dwdt=e^2t-e^-2t+4traize^2t+e^-2t+4t^2

Resposta

dzdt=2, dwdt=e^2t-e^-2t+4traize^2t+e^-2t+4t^2

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