Nos exercícios a seguir use a regra da cadeia para calcular d zd t, d wd t
w=sin x y^2 z^3, x=3 t, y=raizt, z=raiz[3]t

Passo 1

O exercício dá as equações w=sin(x,y^2,z^3), x=3t, y=raizt e z=raiz[3]t. O conteúdo aqui é a regra da cadeia em várias variáveis, ou seja, vamos precisar das derivadas parciais de w em relação a x,y,z e das derivadas de x,y,z em relação a t.

Passo 2

Começando por z, temos z=t^1/3. Pela regra de derivada de potência,
dzdt=13t^-2/3

Passo 3

Para w, note que podemos chamar u=x,y^2,z^3 e então w=sin(u). Primeiro calculamos as derivadas parciais de w e de u:
  • partial wpartial u=cos(u)
  • partial upartial x=y^2,z^3, partial upartial y=2x,y,z^3, partial upartial z=3x,y^2,z^2.

Passo 4

Agora a derivada de w em relação a t pela regra da cadeia em várias variáveis é
dwdt=partial wpartial xdxdt+partial wpartial ydydt+partial wpartial zdzdt

Passo 5

Substituímos:
  • dx/dt=3
  • dy/dt=tfrac12t^-1/2
  • dz/dt=tfrac13t^-2/3
  • partial w/partial x=cos(u),y^2z^3, partial w/partial y=cos(u),2x y z^3, partial w/partial z=cos(u),3x y^2 z^2.

Passo 6

Fazendo o produto e somando os termos e lembrando que u=x y^2 z^3=3tcdot tcdot t=3t^3, y^2=t e z^3=t, obtemos após simplificar:
dwdt=9t^2cos(3t^3)

Resposta

dzdt=13t^-2/3, dwdt=9t^2cos(3t^3)

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