Determine as derivadas indicadas em cada item abaixo.
partial wpartial r, partial wpartial s, onde w=raizu^2+v^2, u=r e^-s, v=s^2 e^-r.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de w(r,s)=raizu^2+v^2, onde u=r,e^-s e v=s^2e^-r. O conteúdo envolvido é a regra da cadeia para derivadas de funções compostas e as regras do produto e da exponenciação para u e v.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas de u em relação a r e s. Como u(r,s)=r,e^-s, temos:
partial upartial r=e^-s, partial upartial s=rcdot(-e^-s)=-r,e^-s

Passo 3

Em seguida, calculamos as derivadas de v. Como v(r,s)=s^2e^-r, aplicamos produto e exponencial:
partial vpartial r=s^2cdot(-e^-r)=-s^2e^-r, partial vpartial s=2s,e^-r

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia para w=raizu^2+v^2=(u^2+v^2)^1/2. Assim, para qualquer variável x (que pode ser r ou s):
partial wpartial x=12(u^2+v^2)^-1/2cdot2l(upartial upartial x+vpartial vpartial xr)=upartial upartial x+vpartial vpartial xraizu^2+v^2

Passo 5

Finalmente, substituímos as derivadas parciais de u e v para obter as expressões de partial w/partial r e partial w/partial s.

Resposta

$$\frac{\partial w}{\partial r}=\frac{u,e{-s}+v,(-s2e{-r})}{\sqrt{u2+v2}}=\frac{u,e{-s}-v,s2e{-r}}{\sqrt{u2+v2}},\
\frac{\partial w}{\partial s}=\frac{u,(-r e^{-s})+v,(2s e{-r})}{\sqrt{u2+v^2}}=\frac{-u,r e^{-s}+2s,v e{-r}}{\sqrt{u2+v^2}}.$$

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