Determine as derivadas indicadas em cada item abaixo.
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede as derivadas parciais de
, onde
e
. O conteúdo envolvido é a regra da cadeia para derivadas de funções compostas e as regras do produto e da exponenciação para
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos achar as derivadas de
em relação a
e
. Como
, temos:
Passo 3
Em seguida, calculamos as derivadas de
. Como
, aplicamos produto e exponencial:
Passo 4
Agora aplicamos a regra da cadeia para
. Assim, para qualquer variável
(que pode ser
ou
):
Passo 5
Finalmente, substituímos as derivadas parciais de
e
para obter as expressões de
e
.
Resposta
$$\frac{\partial w}{\partial r}=\frac{u,e{-s}+v,(-s2e{-r})}{\sqrt{u2+v2}}=\frac{u,e{-s}-v,s2e{-r}}{\sqrt{u2+v2}},\
\frac{\partial w}{\partial s}=\frac{u,(-r e^{-s})+v,(2s e{-r})}{\sqrt{u2+v^2}}=\frac{-u,r e^{-s}+2s,v e{-r}}{\sqrt{u2+v^2}}.$$