Calcule a transformada de Laplace de f(t) por definição.
f(t)=4 t-10

Passo 1

O enunciado pede para calcular, por definição, a transformada de Laplace de f(t)=4t-10. O conteúdo necessário é a definição
Lf(t)(s)=integral0^inftye^-stf(t),dt
e o conhecimento dos integrais básicos
integral0^inftye^-st,dt e integral0^inftyt,e^-st,dt.

Passo 2

Usando a definição de Laplace, escrevemos
L4t-10(s) =integral0^inftye^-stl(4t-10r),dt

Passo 3

Separamos em dois integrais lineares:
integral0^inftye^-st(4t-10),dt =4integral0^inftyt,e^-st,dt -10integral0^inftye^-st,dt

Passo 4

Sabemos que, para Re(s)>0,
integral0^inftye^-st,dt = 1s, integral0^inftyt,e^-st,dt = 1s^2

Passo 5

Substituindo esses resultados:
4integral0^inftyt,e^-st,dt -10integral0^inftye^-st,dt =4cdot1s^2 -10cdot1s =4s^2 - 10s

Resposta

L4t-10(s) =4s^2 - 10s, Re(s)>0

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