Use séries de potência para resolver a equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando séries de potência. Isso significa assumir que a solução pode ser escrita como
e determinar quais condições os coeficientes
devem satisfazer. Vou mostrar cada etapa: expansão em série, substituição na equação, obtenção da relação de recorrência e, por fim, identificação da solução geral.
Passo 2
Assumimos
Então sua derivada primeira é
e a derivada segunda é
Passo 3
Para comparar potências de
, ajustamos os índices de soma para obter séries em
. Na esquerda (
) fazemos
, e na direita (
) fazemos
:
Substituindo em
dá
Como essa série é identicamente zero, cada coeficiente deve anular:
Passo 4
Da relação acima, para todo
:
Isto gera uma torre de relações:
Em geral, para
,
O coeficiente
fica livre (constante de integração).
Passo 5
Agora reescrevemos a série de
:
Definindo novas constantes
e
, obtemos