Use séries de potência para resolver a equação diferencial dada.
y^prime prime=y^prime

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' = y'
usando séries de potência. Isso significa assumir que a solução pode ser escrita como
y(x)=sumn=0^inftyan x^n,
e determinar quais condições os coeficientes an devem satisfazer. Vou mostrar cada etapa: expansão em série, substituição na equação, obtenção da relação de recorrência e, por fim, identificação da solução geral.

Passo 2

Assumimos
y(x)=sumn=0^inftyan x^n
Então sua derivada primeira é
y'(x)=sumn=1^inftyn,an x^n-1
e a derivada segunda é
y''(x)=sumn=2^inftyn(n-1),an x^n-2

Passo 3

Para comparar potências de x, ajustamos os índices de soma para obter séries em x^n. Na esquerda ( y'') fazemos nto n+2, e na direita ( y') fazemos nto n+1:
y''=sumn=0^infty(n+2)(n+1),an+2,x^n, y'=sumn=0^infty(n+1),an+1,x^n
Substituindo em y''=y'
sumn=0^inftyl[(n+2)(n+1),an+2 - (n+1),an+1r]x^n = 0
Como essa série é identicamente zero, cada coeficiente deve anular:
(n+2)(n+1),an+2 - (n+1),an+1 = 0, n>=0

Passo 4

Da relação acima, para todo n>=0:
an+2 = an+1n+2
Isto gera uma torre de relações:
a2=a12, a3=a23=a12cdot3, a4=a34=a12cdot3cdot4,;dots
Em geral, para n>=1,
an = a1n!
O coeficiente a0 fica livre (constante de integração).

Passo 5

Agora reescrevemos a série de y:
y(x)=a0 + sumn=1^inftyan x^n = a0 + a1sumn=1^inftyx^nn! = a0 + a1l(e^x -1r)
Definindo novas constantes C1 = a0 - a1 e C2 = a1, obtemos
y(x)=C1 + C2 e^x

Resposta

boxedy(x)=C1 + C2 e^x

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